2019考研證明題系列 題目

這是乙個積分等式問題。處理積分等式的方法通常有幾種，第一種是利用構造輔助函式來證明，另外一種則是利用分部積分來證明。這道題，我們得仔細觀察下形式是怎樣的。

不難發現，這個形式與泰勒的展開式極其相似。所以我們可以將關注的焦點放在泰勒展開上面。於

是，很自然的，考慮構造輔助函式。

注：這種構造方法是很常見的，無論是在證明積分不等式還是積分等式！都可以先轉換成積分上限函式，通過其性質來證明相關命題！

下一步是將這個積分上限函式展開成泰勒展開式。這裡又涉及到兩個問題：

1）到底應該展開成幾階的。這時候，我們應該看看題目要證的命題需要我們展開到幾階。明顯，題目裡面出現了條件具有二階導數，所以最多可以展開到二階，而命題中也有2階導數，所以，我們需要把這個積分上限函式展開到3階！

2）應該在哪一點展開。從結論中也可以看出，需要在(a+b)/2點展開。

於是，展開式如下：

這個時候，離最後的證明還差一些，就是怎麼在這樣的條件下得到需要的式子。

令x=b，這個時候可以得到需要的左邊的式子。但是右邊還差一些

這時候可以再令x=a.此時，左邊等於0，右邊奇數次導數項和上面的式子的奇數次導數項互為相反數，而偶數次導數項相同，一旦相減，就離最後的結論更近了。

於是我們得到了如下的解法

最後一步利用連續介值定理（條件有說二階導數連續）來做的，這一步看似簡單實際上卻是很重要而且很容易被大家忽略的一步。不這樣做，容易出現以下的一種錯誤！

這種方法是對知識掌握不牢固的同學容易犯的錯誤。因為在泰勒公式裡面，ξ是乙個變數，準確的寫法應該是f(ξ(x))，也就是說，ξ是關於x的函式，所以上面式子的最後一項的積分是積不出來的！

最後，對此題進行小結。這道題是典型的將積分（不）等式先構造相應的積分上限函式來做的，其中涉及的知識有泰勒展開和連續性介值定理。題目的條件告訴了我們，一般來說，一

道題目是沒有無用的條件，如果條件沒有用完，那麼很可能你的方法是錯誤的。比如這道題的那種錯誤的解法！沒有用到二階導數連續！

最後練習一道題吧！

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看見這道證明題，首先第一步是對比一下兩邊的差異。仔細觀察積分限，被積函式，發現只有抽象函式f裡面的表示式變了，而且變的很有規律！可以說，相當於用乙個變數去替換了x 2，所以此時此刻，我們很容易想到積分換元，於是 可是，這個時候麻煩又出現了。原因有兩點 1 積分下限沒改變但是上限變了 2 多了個係數2...

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