初三數學總複習（證明
二、三）
考點一：三角形全等的證明與應用
掌握用三角形全等的判定定理來解決有關的證明和計算問題，靈活運用三角形全等的三個判定定理來證明三角形全等
例1、眾所周知，只有兩邊和一角對應相等的兩個三角形不一定全等，你能想辦法安排和外理這三個條件，使這兩個三角形全等嗎？
請同學們參照下面的方案（1）寫出其它方案（至少兩條）
方案（1）：若這個角的對邊恰好是這兩邊中的大邊，則這兩個三角形全等
例2、如圖，已知ab⊥bc，dc⊥bc，e在bc上，ae＝ad，ab＝bc。求證：ce＝cd。
例3、如圖，已知在△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2，求證：ab＝ac＋cd
例4、過△abc的bc邊的中點m作∠bac的平分線ad的平行線交ab於e，交ca的延長線於f
求證：be=cf
考點二：等腰三角形問題
靈活運用等腰（等邊）三角形的判定定理與性質定理，以及底邊上的高、中線、頂角的平分線三線合一的性質進行有關的證明和計算。
例1、等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為（ ）
a、300 b、600 c、1500 d、300或1500
例2、如圖，在△abc中，ac＝bc，∠acb＝900，d是ac上一點，ae⊥bd的延長線於e，又ae＝bd，求證：bd是∠abc的角平分線
例3、如圖，在等腰直角△abc中，ad為斜邊上的高，以d為端點任作兩條互相垂直的射線與兩腰分別相交於e、f點，鏈結ef與ad相交於g，試問：你能確定∠aed和∠agf的大小關係嗎？
考點三：直角三角形、勾股定理、面積
了解直角三角形的判定與性質，理解直角三角形的邊角關係，掌握用勾股定理解某些簡單的實際問題。它的有關性質廣泛應用於線段計算、證明線段倍分關係、證明線段平方關係及與面積有關的問題等方面。
例1、如圖，在四邊形abcd中，∠a＝600，∠b＝∠d＝900，bc＝2，cd＝3，則ab＝？
例2、如圖，p為△abc邊bc上一點，pc＝2pb，已知∠abc＝450，∠apc＝600，求∠acb的度數。
考點四：線段的垂直平分線、角平分線
了解角平分線、垂直平分線的有關性質和定理，並能解決一些實際問題。
考點五：平行四邊形問題
理解並掌握平行四邊形的判定和性質
例1、已知如圖：在四邊形abcd中，ab＝cd，ad＝bc，點e、f分別在bc和ad邊上，af＝ce，ef和對角線bd相交於點o，求證：點o是bd的中點。
例2、已知如圖：在四邊形abcd中，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da邊上的中點，求證：四邊形efgh是平行四邊形。
（增加變式）
例3、已知如圖，在△abc中，∠c＝900，點m在bc上，且bm＝ac，點n在ac上，且an＝mc，am和bn相交於p，求∠bpm的度數。
考點六：矩形、菱形問題
理解並掌握矩形的判定與性質，並能利用所學知識解決有關問題。
例1、如圖，已知矩形abcd中，對角線ac、bd相交於點o，ae⊥bd，垂足為edae∶∠bae＝3∶1，求∠eac的度數。
例2、如圖，已知菱形abcd的邊長為3，延長ab到點e，使be＝2ab，鏈結ec並延長交ad的延長線於點f，求af的長。
考點七：正方形問題
例1、如圖，e、f分別是正方形abcd的邊ab、bc上的點，且ef∥ac，在da的延長線上取一點g，使ag＝ad，eg與df相交於點h。求證：ah＝ad。
例2、如圖，已知正方形abcd的對角線ac、bd相交於點o，e是ac上一點，過a作ag⊥eb於g，ag交bd於點f，則oe＝of，對上述命題，若點e在ac的延長線上，ag⊥eb，交eb的延長線於點g，ag的延長線交db的延長線於點f，其它條件不變，則結論「oe＝of」還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，說明理由。
考點八：等腰梯形問題
例1、如圖，在梯形abcd中，ab∥dc，中位線ef＝7，對角線ac⊥bd，∠bdc＝300，求梯形的高ah。
例2、如圖，梯形abcd中，ad∥bc，e、f分別是ad、bc的中點，∠b＋∠c＝900，ad＝7，bc＝15，求ef的長。
例3、已知，在梯形abcd中，ad∥bc，點e在ab上，點f在dc上，且ad＝，bc＝。
（1）如果點e、f分別為ab、dc的中點，求證：ef∥bc且ef＝；
（2）如圖2，如果，判斷ef和bc是否平行？請證明你的結論，並用、、、的代數式表示ef。
考點九：三角形、梯形的中位線
例1、如圖，梯形abcd中，ad∥bc，m是腰ab的中點，且ad＋bc＝dc。求證：md⊥mc。
例2、如圖，△abc的三邊長分別為ab＝14，bc＝16，ac＝26，p為∠a的平分線ad上一點，且bp⊥ad，m為bc的中點，求pm的長。
例3、e、f為凸四邊形abcd的一組對邊ad、bc的中點，若ef＝，問：abcd為什麼四邊形？請說明理由。
考點一：三角形全等的證明與應用
考點二：等腰三角形問題
一、填空題：
1、等腰三角形的兩外角之比為5∶2，則該等腰三角形的底角為
2、在△abc中，ab＝ac，bd平分∠abc交ac於d，de垂直平分ab，e為垂足，則∠c
3、等腰三角形的兩邊長為4和8，則它腰上的高為
4、在△abc中，ab＝ac，點d在ab邊上，且bd＝bc＝ad，則∠a的度數為 。
5、如圖，ab＝bc＝cd，ad＝ae，de＝be，則∠c的度數為
6、如圖，d為等邊△abc內一點，db＝da，bp＝ab，∠dbp＝∠dbc，則∠bpd＝ 。
7、如圖，在△abc中，ad平分∠bac，eg⊥ad分別交ab、ad、ac及bc的延長線於點e、h、f、g，已知下列四個式子：
①∠1＝（∠2＋∠31＝2（∠3－∠2）
③∠4＝（∠3－∠24＝∠1
其中有兩個式子是正確的，它們是和
二、選擇題：
1、等腰三角形中一內角的度數為500，那麼它的底角的度數為（ ）
a、500 b、650 c、1300 d、500或650
2、如圖，d為等邊△abc的ac邊上一點，且∠ace＝∠abd，ce＝bd，則△ade是（ ）
a、等腰三角形b、直角三角形c、不等邊三角形d、等邊三角形
3、如圖，在△abc中，∠abc＝600，∠acb＝450，ad、cf都是高，相交於p，角平分線be分別交ad、cf於q、s，那麼圖中的等腰三角形的個數是（ ）
a、2 b、3 c、4 d、5
4、如圖，已知bo平分∠cba，co平分∠acb，且mn∥bc，設ab＝12，bc＝24，ac＝18，則△amn的周長是（ ）
a、30 b、33 c、36 d、39
5、如圖，在五邊形abcde中，∠a＝∠b＝1200，ea＝ab＝bc＝dc＝de，則∠d＝（ ）
a、300 b、450 c、600 d、67.50
三、解答題：
1、如圖，在△abc中，ab＝ac，d、e、f分別為ab、bc、ca上的點，且bd＝ce，∠def＝∠b。求證：△def是等腰三角形。
2、為美化環境，計畫在某小區內用30平方公尺的草皮鋪設一塊邊長為10公尺的等腰三角形綠地。請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。
3、如圖，在銳角△abc中，∠abc＝2∠c，∠abc的平分線與ad垂直，垂足為d，求證：ac＝2bd。
4、在等邊△abc的邊bc上任取一點d，作∠dae＝600，ae交∠c的外角平分線於e，那麼△ade是什麼三角形？證明你的結論。
考點三：直角三角形、勾股定理、面積
一、填空題：
1、如果直角三角形的邊長分別是6、8、，則的取值範圍是
2、如圖，d為△abc的邊bc上的一點，已知ab＝13，ad＝12，，bd＝5，ac＝bc，則bc
3、如圖，四邊形abcd中，已知ab∶bc∶cd∶da＝2∶2∶3∶1，且∠b＝900，則∠dab
4、等腰△abc中，一腰上的高為3cm，這條高與底邊的夾角為300，則＝ 。
5、如圖，△abc中，∠bac＝900，∠b＝2∠c，d點在bc上，ad平分∠bac，若ab＝1，則bd的長為
6、已知rt△abc中，∠c＝900，ab邊上的中線長為2，且ac＋bc＝6，則＝ 。
7、如圖，等腰梯形abcd中，ad∥bc，腰長為8cm，ac、bd相交於o點，且∠aod＝600，設e、f分別為co、ab的中點，則ef
8、如圖，點d、e是等邊△abc的bc、ac上的點，且cd＝ae，ad、be相交於p點，bq⊥ad。已知pe＝1，pq＝3，則ad
9、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形a、b、c、d的面積的和是 。
二、選擇題：
1、如圖，已知△abc中，aq＝pq，pr＝ps，pr⊥ab於r，ps⊥ac於s，則三個結論：①as＝ar；②qp∥ar；③△brp≌△qsp中（ ）
a、全部正確 b、僅①和②正確 c、僅①正確 d、僅①和③正確
2、如果乙個三角形的一條邊的長是另一條邊的長的2倍，並且有乙個角是300，那麼這個三角形的形狀是（ ）
a、直角三角形 b、鈍角三角形c、銳角三角形d、不能確定
3、在四邊形abcd中，ad⊥cd，ab＝13，bc＝12，cd＝4，ad＝3，則∠acb的度數是（ ）
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