高中數學競賽講座14
14不等式的證明
不等式在數學中占有重要地位，由於其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.
證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結論進行代數變形和化歸，而變形的依據是不等式的性質，不等式的性分類羅列如下：
不等式的性質：這是不等式的定義，也是比較法的依據.
對乙個不等式進行變形的性質：
（1）（對稱性）
（2）（加法保序性）
（3）（4）對兩個以上不等式進行運算的性質.
（1）（傳遞性）.這是放縮法的依據.
（2）（3）（4）含絕對值不等式的性質：
（1）（2）（3）（三角不等式）.
（4）證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變數代換法、反證法、數學歸納法、建構函式方法等.當然在證題過程中，常可「由因導果」或「執果索因」.
前者我們稱之為綜合法；後者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數學問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結果時多用綜合法，這兩者並非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明乙個不等式時，可能交替使用多種方法.
例題講解
1．求證：
2．，求證：
3．：4．設，且各不相同，
求證：.
5．利用基本不等式證明
6．已知求證：
7．利用排序不等式證明
8．證明：對於任意正整數r，有
9．n為正整數，證明：
課後練習
1.選擇題
(1)方程x2-y2=105的正整數解有( ).
（a）一組 （b）二組 （c）三組 （d）四組
(2)在0,1,2,…，50這51個整數中，能同時被2，3，4整除的有（ ）.
（a）3個 （b）4個 （c）5個 （d）6個
2．填空題
（1）的個位數分別為_________及
(2)滿足不等式104≤a≤105的整數a的個數是x×104+1，則x的值________.
(3)已知整數y被7除餘數為5,那麼y3被7除時餘數為________.
(4)求出任何一組滿足方程x2-51y2=1的自然數解x和y
3.求三個正整數x、y、z滿足
.4．在數列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數之和是3的倍數，而不是9的倍數的陣列共有多少組？
5．求的整數解.
6．求證可被37整除.
7．求滿足條件的整數x，y的所有可能的值.
8．已知直角三角形的兩直角邊長分別為l厘公尺、m厘公尺，斜邊長為n厘公尺，且l，m，n均為正整數，l為質數.證明：2（l+m+n）是完全平方數.
9.如果p、q、、都是整數，並且p＞1，q＞1，試求p+q的值.
課後練習答案
2.(1)9及1.
(2)9.
(3)4.
(4)原方程可變形為x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.
3.不妨設x≤y≤z,則,故x≤3.又有故x≥2.
若x=2,則,故y≤6.又有,故y≥4.若y=4,則z=20.
若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數解.若x=3,類似可以確定3≤y≤4,y=3或4,z都不能是整數.
4.可仿例2解.
5. 分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.
略解：；三式相加再除以2即得證.
評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.
如，可在不等式兩邊同時加上
再如證時，可連續使用基本不等式.
（2）基本不等式有各種變式如等.但其本質特徵不等式兩邊的次數及係數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，係數和為1.
6.8888≡8(mod37),∴88882222≡82(mod37).
7777≡7(mod37),77773333≡73(mod37),88882222+77773333≡(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,∴37|n.
7.簡解:原方程變形為3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由關於x的二次方程有解的條件△≥0及y為整數可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.
逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).
8.∵l2+m2=n2,∴l2=(n+m)(n-m).∵l為質數,且n+m＞n-m＞0,∴n+m=l2,n-m=1.
於是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方數.
9.易知p≠q,不妨設p＞q.令=n,則m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.
例題答案：
1. 證明：
評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往採用輪換技巧.再如證明時，可將
配方為，亦可利用
，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.
2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數式，故嘗試用商較法.
不等式關於對稱，不妨，且，
都大於等於1.
評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題.
（2）本題可作如下推廣：若
（3）本題還可用其他方法得證。因，同理，
另，4式相乘即得證.
（4）設例3等價於類似例4可證事實上，一般地有排序不等式（排序原理）：
設有兩個有序陣列，則（順序和）
（亂序和）
（逆序和）
其中的任一排列.當且僅當或時等號成立.
排序不等式應用較為廣泛（其證明略），它的應用技巧是將不等式兩邊轉化為兩個有序陣列的積的形式.如
.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.
不妨設，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第乙個不等式.再考慮陣列，仿上可證第二個不等式.
4.分析：不等式右邊各項；可理解為兩數之積，嘗試用排序不等式.
設的重新排列，滿足，
又所以.由於是互不相同的正整數，故從而，原式得證.
評述：排序不等式應用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，
5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.
；三式相加再除以2即得證.
評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.
如，可在不等式兩邊同時加上
再如證時，可連續使用基本不等式.
（2）基本不等式有各種變式如等.但其本質特徵不等式兩邊的次數及係數是相等的.如上式左右兩邊次數均為2，係數和為1.
6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式，右邊為常數，如何也轉化為、的4次式呢.
要證即證
評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：
右側的可理解為再如已知，求證：
+，此處可以把0理解為，當然本題另有簡使證法.
（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對於個正數
調和平均
幾何平均
算術平均
平方平均
這四個平均值有以下關係：，其中等號當且僅當時成立.
7. 證明: 令則，故可取，使得
由排序不等式有：
=（亂序和）
（逆序和）
=n，評述:對各數利用算術平均大於等於幾何平均即可得，.
8. 分析:原不等式等價於，故可設法使其左邊轉化為n個數的幾何平均，而右邊為其算術平均.
評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關鍵是通過分拆和轉化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證
（2）本題亦可通過逐項展開並比較對應項的大小而獲證，但較繁.
9.證明:先證左邊不等式
式成立，故原左邊不等式成立.
其次證右邊不等式
（**）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.
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