第八章圓錐曲線總結
曲線與方程
1． 曲線與方程的理論基礎（解析幾何的理論基礎）
2． 若；
(1)則有n個交點的充要條件是方程組有n組解
注：「曲線的方程」與「方程的曲線」是數和形的純粹性與完備性的統一體
(2)曲線系：是過曲線c1與c2交點的曲線系
3． 軌跡求法：
（1） 定義型
（2） 相伴型：
練習題：
1． 方程有兩解時， 。
2． 方程10sinx=x解的個數___7____。
3． 方程 cos2x+sinx+a=0有解時， 。
4． 判斷方程所表示的曲線c
（1） 若點在曲線c上，求m , n的值。
（2） 若直線x=a與曲線c有兩個交點時
橢圓與雙曲線的基礎知識
橢圓系列題
已知橢圓上一點p(x，y)
1． 求「一套」——
a=5；b=3；c=4；e=4/5
焦點座標f(±4，0)；準線x=±25/4；
頂點座標a(±5,0)；b(0, ±3)
焦點到相應準線的距離p=b2/c=9/4；
兩準線間的距離d=2a2/c=25/2
2． 若，求的值和p點的座標
；3． 若，求：p到左、右準線的距離。 到左準線距離5；到右準線距離7.5
4． 若，求：的大小 π－arccos1/4
5． 若=900，求的面積 9
6． 若,則的值
7． 求的最大值 π－arccos7/25
8． 求與其有相同焦點且過點a（5, 3）的橢圓方程。
9． 若a（3，），則的最小值_37/4_，此時p點的座標_p(-10/3,)
10． 若a（2，），則的最小值_ 7___
11． 若i是的內心，直線ip交x軸於n，則pi:in=_1/e=5/4__。
提示：由正弦定理
12． 判斷以過右焦點的弦為直徑的圓與右準線的位置關係？（你能將此結論推廣嗎？）
提示：相離 )
13． 是否存在點p，使p到左準線的距離是p到兩焦點的距離的等比中項？並說明理由。
存在14． 當m為何值時，直線l: y=x+m與此橢圓相交、相切、相離。
相交：；相切： 相離：
15． 當m為何值時，直線l: x – 5y+m=0與此橢圓截得弦長為
16． 求此橢圓被點m所平分的弦所在的直線方程。 3x+5y-15=0
17． 求斜率為k0的平行弦的中點軌跡方程。 推廣：
18． 求過右焦點弦中點的軌跡方程。 點差法：9(x-2)2+25y2=36
19． 求過此橢圓的焦點，斜率為的弦長及弦中點到該焦點的距離。
20． 求2x+5y的最大值、最小值
21． 求點p到直線l：4x+5y+30=0的最大值、最小值。
22． 若p在第一象限，求四邊形oa2pb2面積的最大值。
23． （1）若a(0，3)，求的最大值；（2）若a(0，a)，研究的最大值
24． 討論圓(x-a)2+y2=4與此橢圓交點的個數。
25． 此橢圓上不同三點與右焦點f的距離成等差數列， 求（1）x1+x2；（2）若線段ac的垂直平分線與x軸的交點為t，求直線bt的斜率。
(1) x1+x2=8 (2) kbt=5/4
雙曲線系列題已知雙曲線上一點p（x,y）
1． 求：「一套」——
a=3 b= 4 c=5 e=5/3；
焦點座標（-5,0）;(5,0)、頂點座標(-3,0)；(3,0)
準線方程；漸近線方程
其共軛雙曲線方程。
2． 若，求：的值 14或2
3． 求兩漸近線的夾角 arctan(24/7)或π-2arctan(4/3)
4． 若，求：p點到左準線的距離
5． 若，求：p點到左準線的距離.
6． 求與其有相同漸近線且過點a（6,10）的雙曲線方程
提示：設c：
7． 求與其有相同焦點且過點a（5, 4）的雙曲線方程
8． 若=900，求的面積。 利用第一定義+勾股定理 s=16
9． 研究直線y=kx+3和此雙曲線交點的個數
10． 過點m（3，2）能否作直線l與所給雙曲線交於兩點a、b且m恰為ab中點
若能並求出直線l 的方程。若過點n(3,8)情況如何？你能總結出一般性規律嗎？
點差法+檢驗：不存在； 點n處存在
11． 過右焦點作傾角為450的直線與雙曲線交於a、b兩點，求：及的周長
12． 過右焦點作傾角為600的直線與雙曲線交於a、b兩點，求：及的周長
13． 求點p到直線y=2x -距離的最小值。
14． 若a（8，6），求的最小值。
15． 若點p為左支上一點，求的內切圓在x軸上的切點座標。
利用角平分線定理+第一定義+定比分點右頂點a2(3,0)
16． 判斷以過右焦點的弦為直徑的圓與右準線的位置關係？（你能將此結論推廣嗎？）
相交——見橢圓12題
17． 若p在左支上，p到左準線距離為d，能否使是d與的等比中項？並說明理由？
拋物線系列題: 拋物線y2=2px (p>0)，上一點p(x,y)
1． 求其焦點座標；準線方程；通經；
2． 若準線方程為x= -3，求拋物線方程。 y2=12x
3． 若p(3,6)，求此拋物線的方程及pf的長。
y2=12x |pf|=6
4． 若a(x1 ,y1)、b(x2 ,y2)是過焦點的弦
則(1) y1y2= - p2
(2) x1x2=
(3) 通經：2p
(4) =2p(m2+1)
(5)(6)(7) ∠a1fb1=900
(8) 以ab為直徑的圓與準線相切
5． 若p =2時，過此拋物線焦點的弦長為，求弦所在的直線的方程。
6． 過此拋物線焦點的一條直線與它交於兩點a、b，經過a和拋物線頂點的直線交準線與點m，求證直線mb平行於此拋物線的對稱軸。
7． （2001.全國.理、文）設拋物線y2=2px (p>0)的焦點為f，經過點f的直線交拋物線與a、b兩點，點c在拋物線的準線上且bc∥x軸，求證直線ac經過原點o。
8． ab為此拋物線的焦點弦，ab的中垂線交x軸於r，求證：
9． 若此拋物線上一點 p(a,-3)到焦點f的距離為5，求此拋物線的方程。 y2=18x 或 y2=2x
10． 若p=1，點a(3,2)，p為拋物線上任意一點，當的最小值及p點座標。
11． 若p=2，以a(1,0)、b(1,1)為焦點的橢圓與拋物線有公共點，求長軸最短的橢圓方程
12． 若p=4，求此拋物線被點a(1,1)所平分的弦所在的直線方程。4x-y-3=0
13． 若點q與p關於點a(1,1)對稱，求q點的軌跡方程。 (y-2)2=-2p(x-2)
14． 設a、b是此拋物線上兩點且滿足∠aob=900，(1)求弦ab中點的軌跡方程（2）求證直線ab過定點並求此定點。
(1) y2=p(x-2p) (2)定點(2p,0)
15． 設a、b是此拋物線上兩點且滿足∠aob=900，求△aob的重心軌跡方程。
16． 若p=32，求p到直線4x+3y+46=0的最短距離及p點的座標。
17． 若p=1，討論拋物線上p點距點a(a,o)(a>0)的最近距離及p點座標。
18． 若p=1時，求過定點p(0,1)且與此拋物線只有乙個公共點的直線方程。
x=0 或 y=1 或 x-2y+2=0
19． 若p=1，討論圓(x-a)2+y2=4與此拋物線交點的個數。
常見題型總結
一． 指明曲線型別，求曲線方程
題目明確指出所求曲線的型別（直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線），可設出曲線方程的形式，依據已知條件列出等量關係，進行待定係數，求出曲線方程。
方法：待定係數法
如，橢圓：8 雙曲線： 6，7 拋物線： 9
二． 有關第一定義和統一定義的應用
1．第一定義的應用：利用橢圓、雙曲線的第一定義可解決有關曲線上一點與兩焦點構成的三角形△pf1f2的有關問題，常用到正弦、餘弦定理等
如，橢圓：2，4，5，6，7，10；雙曲線：2，8
2．統一定義、焦半徑的應用
有關曲線上一點到焦點距離——焦半徑和過焦點弦的問題，往往將焦半徑轉化為到相應準線距離去解決，可使問題迎刃而解。
如， 橢圓：2，9，12，13，25 雙曲線：4，5，11，12，14，16，17
拋物線：4，5，8，10
三． 直線與圓錐曲線的位置關係
1． 常規方法：
程式——①聯立方程組→→②求出式★→→③利用韋達定理、判別式
→→④尋求「目標」的實現
注意：判別式的作用
如，橢圓：14，15，16，17，18，19 雙曲線：10，11，12 拋物線：5，6，7，8，11，12
2． 設而不求：
解決有關弦的斜率的有關問題。
如，橢圓：17，18 雙曲線：10 拋物線：13
四． 有關最值問題的解法
1． 曲線的引數方程的應用（點參）
利用圓、橢圓、拋物線的引數方程設曲線上一點的座標——點參，可將最值問題轉化為函式最值問題解決。
如，橢圓：20，21，23 雙曲線：13 拋物線：15，16
2． 曲線的幾何性質與平面幾何知識的有機結合
將圓錐曲線的第一定義、統一定義、幾何性質與平面幾何的知識（尤其是對稱）有機的結合，可解決一些活、奇、巧的題目，從而培養學生的創造性思維。
如，橢圓：9，10 雙曲線：14 拋物線：10
五． 軌跡問題的探求——見專題《軌跡問題的探求》
六．對稱問題的研究
七．引數取值範圍的求法
專題：解析幾何中軌跡的探求
圓錐曲線經典題型總結含答案
圓錐曲線整理 1 圓錐曲線的定義 1 橢圓 mf1 mf2 2a 2a f1f2 2 雙曲線 mf1 mf2 2a 2a f1f2 3 拋物線 mf d.圓錐曲線的定義是本部分的乙個重點內容，在解題中有廣泛的應用，在理解時要重視 括號 內的限制條件 橢圓中，與兩個定點f，f的距離的和等於常數，且此常...
圓錐曲線總結
橢圓雙曲線拋物線 解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容 1 給出直線的方向向量或 2 給出,等於已知是的中點 3 給出以下情形之一 存在實數 若存在實數,等於已知三點共線.4 給出,等於已知是 5 在平行四邊形中，給出，等於已知是 6 在平行四邊形中，給出，等於已知是 7 在中，給出，等於已知是的...
圓錐曲線知識點例題練習含答案整理
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