一、 知識綜述
實行新課標以來，中考加大了對考生歸納，總結，猜想這方面能力的考察，但是由於數列的系統知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。根據學生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經常有同學選擇+填空就只錯了這一道。對於這類歸納總結問題來說，思考的方法是最重要的。
二、理解掌握
例1、用等號或不等號填空：
（1）比較2x與x 2＋1的大小
①當x＝2時，2x x 2＋1；
②當x＝1時，2x x 2＋1；
③當x＝－1時，2x x 2＋1．
（2）可以推測：當x取任意實數時，2x x 2＋1．
分析：本題是通過計算發現和猜想一般規律題，正確計算和發現規律是關鍵。
解：（12）≤。
例2、觀察下列分母有理化的計算：
，，，…從計算結果中找出規律，並利用這一規律計算：
=＿＿＿＿。
分析：解本題時，要抓住分每有理化後的結果都是兩數之差，且可以錯位相消。還要注意相消後所剩下的是什麼。
解： =
= =2002—1
=2001。
例3、 觀察下列數表：
1 2 3 4第一行
2 3 4 5第二行
3 4 5 6第三行
4 5 6 7第四行
第一列第二列第三列第四列
根據數表所反映的規律，猜想第6行與第6列的交叉點上的數應為＿＿＿＿，第n行與第n列交叉點上的數應為＿＿＿＿。（用含正整數n的式子表示）
分析：本題要求的是同行同列交叉點上的數，因此，必須先研究同行同列交叉點上的數有什麼規律，然後利用此規律解題。
解： 11 ， 2n—1.
例4、將乙個邊長為1的正方形紙，剪成四個大小一樣的正方形，然後將其中的乙個按同樣的方法剪成四個正方形，如此迴圈下去，觀察下列圖形和所給**中的資料後填空格。
分析：解本題的關鍵是：先歸納總結操作的次數與正方形個數之間的關係，再猜想空格中的結果。
解：操作的次數是 10時，正方形個數為31；操作的次數是 n時，正方形個數為1+3n.
例5、 下面三個圖是由若干盆花組成形如三角形的圖案，每條邊（包括頂點）有n(n>1)盆花，每個圖案花盆總數為s，按此規律推斷，s與n的關係式是＿＿＿＿＿＿。
n=2n=3n=4
s=3s=6s=9
分析：題目給出了「每條邊（包括頂點）有n(n>1)盆花」，而三角形有三條邊，因此，三條邊上的的花盆數量為3n，但每個頂點上的花盆用了兩次，必須減去。所以s=3n—3。
解：s=3n—3。
三、拓寬應用
例6、⑴如下表：方程1，方程2，方程3，……，是按照一定規律排列的一列方程，解方程1，並將它的解填在表中的空白處：
⑵若方程的解是，，求a，b的值，該方程是不是⑴中所給出的一列方程中的乙個方程？如果是，它是第幾個方程？
⑶請寫出這列方程中的第n個方程和它的解，並驗證所寫出的解適合第n個方程。
分析：通過解方程不難求出：x1=3,x2=4，將，代入方程易求a=12,b=5。
本題較難的是寫出第n個方程和它的解，解決難點的關鍵是觀察**中方程和它們的解的排列規律，特別是每個變化的數與序號的關係。
解：（1）解方程得，x1=3,x2=4；
（2）將，代入方程，易求得a=12,b=5；
（3）第n個方程是：，它的解是：。
例7、圖形的操作過程（本題中四個矩形的水平方向的邊長均為a，豎直放行上的邊長均為b）：
●在圖1中，將線段向右平移1個單位到，得到封閉圖形（即陰影部分）
●在圖2中，將折線向右平移1個單位到，得到封閉圖形（即陰影部分）
（圖1） （圖2） （圖3）
⑴在圖3中，請你類似地畫一條有兩個折點的折線，同樣向右平移1個單位，從而得到乙個封閉的圖形，並用斜線畫出陰影；
⑵請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分後剩餘部分的面積：
⑶聯想與探索：
如圖4，在一塊矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬度都是1個單位），請你猜想空白部分表示的草地面積是多少？並說明你的猜想是正確的。
分析：本題考查的內容較多，有動手操作、有計算、有歸納猜想，還有想象。（1）和（2）兩問並不困難，第（3）問可想象將中間的小路從中抽去，再拼起來後仍然是乙個矩形，這時它的兩邊長分別是a—1,b，這樣面積就不難求了。
解：（1）
（2）=ab--b； =ab--b； =ab—b;
(3) 空白部分表示的草地面積是ab—b。（可想象將中間的小路從中抽去，再拼起來後仍然是乙個矩形，這時它的兩邊長分別是a—1,b）
例8、閱讀下列材料，按要求解答問題。
⑴觀察下面兩塊三角尺它們有乙個共同的性質：∠a=2∠b。我們由此出發來進行思考。
在圖a中，作斜邊上的高cd，由於∠b=30°，可知c=2b，∠acd=30°，於是ad=，bd=，由△cdb∽△acb ，可知，即，同理，於是。
圖a圖b圖c
對於圖b由勾股定理有，由於b=c，故也有，這兩塊三角尺都具有性質，在△abc中，如果有乙個內角等於另乙個內角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形。兩塊三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性質仍然成立嗎？暫時把我們的設想作為乙個猜測：
如圖c，在△abc中，若∠cab=2∠abc，則，在上述由三角尺的性質到「猜測」這一認識過程中，用到了下列四種數學思想方法中的哪一種？選出乙個正確的將其序號填在括號內（ ）
1 分類的思想方法；②轉化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④數形結合的思想方法。
⑵這個猜測是否正確？請證明。
分析：通過閱讀可以發現：本題的研究是先從特殊情況入手，再得出一般情況的結論，因此，主要運用的是由特殊到一般的思想方法。
故選③；一般情況下的證明雖然方法較多，但是有一定的難度，應加強解題思路的分析。
解：（1）③；
（2）猜測是正確的。
證明：延長ba到d，使ad=ac=b，鏈結cd，則∠acd=∠adc，
∵∠bac=∠acd+∠adc，∴∠bac=2∠adc
∵∠bac=2∠abc ∠abc=∠adc，且bc=cd=a，∴△acd∽△cbd
想一想：還有其他證明方法嗎？
四、鞏固訓練
1、觀察下列有規律的數，並根據規律寫出第五個數：
＿＿＿2、觀察下列圖形並填表。
1 1 1
23、 下列每個圖形都是若干棋子圍成的正方形圖案，圖案的每條邊（包括兩個頂點）上都有n（n≥2）個棋子，每個圖案的棋子總數為s，按下圖的排列規律推斷，s與n之間的關係可以用式子＿＿＿＿來表示。
n=2s=4 n=3
s=8n=4
s=12n=5 s=16
4、⑴判斷下列各式是否成立，你認為成立的請在括號內打「√」，不成立的打「×」
⑵你判斷完以上各題後，發現了什麼規律？請用含有n的式子將規律表示出來，並註明n的取值範圍
⑶請用數學知識說明你所寫的式子的正確性。
5、已知ac、ab是⊙o的弦，ab＞ac。（1）如圖9，能否在ab上確定乙個點e，使ac=ae·ab，為什麼？（2）如圖10，在條件（1）的結論下延長ec到p，鏈結pb。
如果pb=pe，試判斷pb和⊙o的位置關係並說明理由。（3）在條件（2）的情況下，如果e是pd的中點，那麼c是pe的中點嗎？為什麼？
（重慶市中考試題）
aa d
cc e oop
bb圖9圖10
本題三個小題全是結論探索題。
參***
1、， 2、17，20，2+3n 3、4n-4 4、（1）√√√√，（2）
5、（1）能，鏈結bc，作∠ace=∠b。（證明略） （2）pb是⊙o的切線（證明略）
（3）是。（提示：利用切割線定理和pe=pb、pd=2pe）。
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