體積變型例題
【例 1】 乙個圓柱體的體積是立方厘公尺，底面半徑是2厘公尺．將它的底面平均分成若干個扇形後，再截開拼成乙個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘公尺？ ()
【解析】 從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前後兩個側面面積與原來圓柱體的側面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個側面的面積．
(法1)這兩個側面都是長方形，且長等於原來圓柱體的高，寬等於圓柱體底面半徑．
可知，圓柱體的高為(厘公尺)，所以增加的表面積為(平方厘公尺)；
(法2)根據長方體的體積公式推導．增加的兩個面是長方體的側面，側面面積與長方體的長的乘積就是長方體的體積．由於長方體的體積與圓柱體的體積相等，為立方厘公尺，而拼成的長方體的長等於圓柱體底面周長的一半，為厘公尺，所以側面長方形的面積為平方厘公尺，所以增加的表面積為平方厘公尺．
【例 2】 (2023年」希望盃」五年級第2試)乙個擰緊瓶蓋的瓶子裡面裝著一些水(如圖)，由圖中的資料可推知瓶子的容積是_______ 立方厘公尺．(取)
【解析】 由於瓶子倒立過來後其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水構成高為厘公尺的圓柱，空氣部分構成高為厘公尺的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所以瓶子的容積為： (立方厘公尺)．
【鞏固】乙個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖．已知它的容積為立方厘公尺．當瓶子正放時，瓶內的酒精的液面高為6厘公尺；瓶子倒放時，空餘部分的高為2厘公尺．問：瓶內酒精的體積是多少立方厘公尺？合多少公升？
【解析】 由題意，液體的體積是不變的，瓶內空餘部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空餘部分體積的倍．所以酒精的體積為立方厘公尺，而立方厘公尺毫公升公升．
【鞏固】乙個蓋著瓶蓋的瓶子裡面裝著一些水，瓶底面積為平方厘公尺，(如下圖所示)，請你根據圖中標明的資料，計算瓶子的容積是＿＿＿＿＿＿．
【解析】 由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為，從而水與空著的部分的比為，由圖1知水的體積為，所以總的容積為立方厘公尺．
【例 3】 乙個盛有水的圓柱形容器，底面內半徑為5厘公尺，深20厘公尺，水深15厘公尺．今將乙個底面半徑為2厘公尺，高為17厘公尺的鐵圓柱垂直放入容器中．求這時容器的水深是多少厘公尺？
【解析】 若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應等於原有水的體積與圓柱體在水中體積之和，因而水深為： (厘公尺)．
它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中．
於是所求的水深便是厘公尺．
【例 4】 有甲、乙兩隻圓柱形玻璃杯，其內直徑依次是10厘公尺、20厘公尺，杯中盛有適量的水．甲杯中沉沒著一鐵塊，當取出此鐵塊後，甲杯中的水位下降了2厘公尺；然後將鐵塊沉沒於乙杯，且乙杯中的水未外溢．問：這時乙杯中的水位上公升了多少厘公尺？
【解析】 兩個圓柱直徑的比是，所以底面面積的比是．鐵塊在兩個杯中排開的水的體積相同，所以乙杯中水公升高的高度應當是甲杯中下降的高度的，即(厘公尺)．
【例 5】 如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的，乙容器中水的高度是錐高的，比較甲、乙兩容器，哪乙隻容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？
【解析】 設圓錐容器的底面半徑為，高為，則甲、乙容器中水面半徑均為，則有，
，，，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的倍．
【例 6】 (2023年仁華考題)如圖，有一捲緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘公尺，中間有一直徑為8厘公尺的卷軸，已知薄膜的厚度為厘公尺，則薄膜展開後的面積是平方公尺．
【解析】 纏繞在一起時塑料薄膜的體積為： (立方厘公尺)，薄膜展開後為乙個長方體，體積保持不變，而厚度為厘公尺，所以薄膜展開後的面積為
平方厘公尺平方公尺．
另解：也可以先求出展開後薄膜的長度，再求其面積．
由於展開前後薄膜的側面的面積不變，展開前為(平方厘公尺)，展開後為乙個長方形，寬為厘公尺，所以長為厘公尺，所以展開後薄膜的面積為平方厘公尺平方公尺．
【鞏固】圖為一捲緊繞成的牛皮紙，紙捲直徑為20厘公尺，中間有一直徑為6厘公尺的卷軸．已知紙的厚度為公釐，問：這捲紙展開後大約有多長？
【解析】 將這捲紙展開後，它的側面可以近似的看成乙個長方形，它的長度就等於面積除以寬．這裡的寬就是紙的厚度，而面積就是乙個圓環的面積．
因此，紙的長度 ：
(厘公尺)
練習1. 乙個酒瓶裡面深，底面內直徑是，瓶裡酒深．把酒瓶塞緊後使其瓶口向下倒立這時酒深．酒瓶的容積是多少？(取3)
【解析】 觀察前後，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變．
當酒瓶倒過來時酒深，因為酒瓶深，這樣所剩空間為高的圓柱，再加上原來高的酒即為酒瓶的容積．酒的體積：
瓶中剩餘空間的體積，酒瓶容積：
【例 7】 如圖，是矩形，，，對角線、相交．、分別是與的中點，圖中的陰影部分以為軸旋轉一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘公尺？(取3)
【解析】 掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實際上是乙個圓柱減去兩個圓錐後所形成的圖形．
兩個圓錐的體積之和為(立方厘公尺)；
圓柱的體積為(立方厘公尺)，
所以白色部分掃出的體積為(立方厘公尺)．
【鞏固】(2023年第十一屆華盃賽決賽試題)如圖，是矩形，，，對角線、相交．圖中的陰影部分以為軸旋轉一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘公尺？
【解析】 設三角形以為軸旋轉一周所得到的立體圖形的體積是，則等於高為10厘公尺，底面半徑是6厘公尺的圓錐，減去2個高為5厘公尺，底面半徑是3厘公尺的圓錐的體積後得到．
所以， (立方厘公尺)，
那麼陰影部分掃出的立體的體積是(立方厘公尺)．
乙個長方體容器,底面是乙個邊長為60厘公尺的正方形,容器裡直立著乙個高為1公尺,底面邊長為15厘公尺的長方體鐵塊,這時,容器裡的水深0.5公尺,現在把鐵塊向上提起24厘公尺,那麼鐵塊露出水面的部分中被水浸濕的部分長多少厘公尺?(
假設拿出24厘公尺水面不下降，就會有24厘公尺鐵塊露出水面的部分中被水浸濕，但水面是會下降的，下降後鐵塊會有更多部分露出水面。所以總的被水浸濕部分長度還要在24厘公尺基礎上加上水下降的長度。
以下哪種方法對？
（1）四稜柱鐵棍騰出的體積÷長方體底面積＋24厘公尺
（2）四稜柱鐵棍騰出的體積÷（長方體底面積-四稜柱底面積）+24厘公尺
我理解的是第一種，老師卻說是第二種，如果誰能詳細解釋第二種的原理，萬分感謝。
甲、乙兩個圓柱體容器，底面積之比為4 ：3，甲容器水深7厘公尺，乙容器水深3厘公尺，再往兩個容器各注入同樣多的水，直到水深相等，這是水深多少厘公尺？
【解析】：當兩個容器中水深相等時，容器中水的體積比就等於兩個容器的底面積之比為： 4 ：3。
如果把甲容器中1厘公尺深的水量看作4份，則乙容器中1厘公尺深的水量就有3份。
甲容器中已有水量為：4×7＝28（份）
乙容器中已有水量為：3×3＝9（份）
假設後來注入兩個容器中的水都是x份，由題意可得：
（28＋x）：（9＋x）＝4 ：3
解比例得：x＝48 所求水的深度為：（28＋48）÷4＝19（厘公尺）。
體積變型例題
【例 8】 乙個圓柱體的體積是立方厘公尺，底面半徑是2厘公尺．將它的底面平均分成若干個扇形後，再截開拼成乙個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘公尺？ ()
【例 9】 (2023年」希望盃」五年級第2試)乙個擰緊瓶蓋的瓶子裡面裝著一些水(如圖)，由圖中的資料可推知瓶子的容積是_______ 立方厘公尺．(取)
【鞏固】乙個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形(不包括瓶頸)，如圖．已知它的容積為立方厘公尺．當瓶子正放時，瓶內的酒精的液面高為6厘公尺；瓶子倒放時，空餘部分的高為2厘公尺．問：瓶內酒精的體積是多少立方厘公尺？合多少公升？
【鞏固】乙個蓋著瓶蓋的瓶子裡面裝著一些水，瓶底面積為平方厘公尺，(如下圖所示)，請你根據圖中標明的資料，計算瓶子的容積是＿＿＿＿＿＿．
【例 10】 乙個盛有水的圓柱形容器，底面內半徑為5厘公尺，深20厘公尺，水深15厘公尺．今將乙個底面半徑為2厘公尺，高為17厘公尺的鐵圓柱垂直放入容器中．求這時容器的水深是多少厘公尺？
【解析】 有甲、乙兩隻圓柱形玻璃杯，其內直徑依次是10厘公尺、20厘公尺，杯中盛有適量的水．甲杯中沉沒著一鐵塊，當取出此鐵塊後，甲杯中的水位下降了2厘公尺；然後將鐵塊沉沒於乙杯，且乙杯中的水未外溢．問：這時乙杯中的水位上公升了多少
【例 11】 如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高的，乙容器中水的高度是錐高的，比較甲、乙兩容器，哪乙隻容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？
【例 12】 (2023年仁華考題)如圖，有一捲緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘公尺，中間有一直徑為8厘公尺的卷軸，已知薄膜的厚度為厘公尺，則薄膜展開後的面積是平方公尺．
【鞏固】圖為一捲緊繞成的牛皮紙，紙捲直徑為20厘公尺，中間有一直徑為6厘公尺的卷軸．已知紙的厚度為公釐，問：這捲紙展開後大約有多長？
練習2. 乙個酒瓶裡面深，底面內直徑是，瓶裡酒深．把酒瓶塞緊後使其瓶口向下倒立這時酒深．酒瓶的容積是多少？(取3)
【例 13】 如圖，是矩形，，，對角線、相交．、分別是與的中點，圖中的陰影部分以為軸旋轉一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘公尺？(取3)
【鞏固】(2023年第十一屆華盃賽決賽試題)如圖，是矩形，，，對角線、相交．圖中的陰影部分以為軸旋轉一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘公尺？
立體：乙個底面積正方形的容器，為邊長60厘公尺，高度50厘公尺，注滿水，把乙個底面積為正方形邊長為15厘公尺長方體插入容器底部，請問排出多少水？如果插入後，長方體提高24厘公尺，水面下降多少厘公尺？
在底面邊長為60厘公尺的正方形的乙個長方體容器中，直立一根長1公尺，底面邊長是15厘公尺的正方形四稜柱鐵棍，這時容器水深為50厘公尺，現在把鐵棍輕輕向上提起24厘公尺，露出水面的四稜柱浸濕部分長多少厘公尺？
甲、乙兩個圓柱體容器，底面積之比為4 ：3，甲容器水深7厘公尺，乙容器水深3厘公尺，再往兩個容器各注入同樣多的水，直到水深相等，這是水深多少厘公尺？
立體幾何證明簡單例題
考點 線面垂直，面面垂直的判定 2 如圖，已知空間四邊形中，是的中點。求證 1 平面cde 2 平面平面。考點 線面平行的判定 3 如圖，在正方體中，是的中點，求證 平面。考點 線面垂直的判定 4 已知中,面,求證 面 考點 線面平行的判定 利用平行四邊形 線面垂直的判定 5 已知正方體，是底對角線...
立體幾何總結
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立體幾何 體積 2019高考必修二
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