一．集合
1．元素
含義：一般地，把研究物件統稱為元素，把一些確定的元素組成的總體叫做集合。
*1.把研究物件成為元素，也就是說元素不止數字，廣義的元素包含所有研究的個體
*2.給定的集合，其中的元素必須是確定的，也就是說給定乙個集合，給定一系列元素，那麼這些元素是否在這個集合中就是確定的，確定與否和已知與否不同
*3.在乙個給定的集合中，元素是不重複出現的，並且只要構成兩個集合的元素是一樣的，那麼就稱這兩個集合是相等的，元素之間並無排列順序
2.元素與集合的關係
如果a是集合a的乙個元素，就說a屬於集合a，記作aa，如果a不是集合a的乙個元素，就說a不屬於集合a，記作aa
*1.常用的數集記法：
全體非負整數集（自然數集），記作n
全體正數集，記作n*或n+
全體整數集，記作z
全體有理數集，記作q
全體實數集，記作r
3.集合的表示方法
①列舉法：將所有的元素一一枚舉並「」括起來
②描述法：在花括號中先寫出這個集合元素的一般表示符號（及取值），再畫一條豎線，在豎線右側寫出這個集合元素的共有特徵
③自然語言描述
*1.描述法中若未在左側寫出取值，通常預設為全體實數
4.集合之間的基本關係
若集合a中所有元素均屬於集合b，那麼就稱集合a是集合b的乙個子集。又稱a包含於b或b包含a
若集合a包含於集合b，且集合b包含於集合a，則稱集合a與集合b相等，記作a=b
若集合a包含於集合b，但存在元素屬於b但不屬於a，則稱集合a是集合b的乙個真子集
把不含任何元素的集合稱為空集，並且規定：空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集
5.集合的基本運算
並集：求由集合a、b中所有元素組成的新集合的運算，記作a∪b
交集：求由集合a、b中共有元素組成的新集合的運算，記作a∩b
補集：求全集u中不屬於集合a的所有元素組成的新集合的運算，記作cua
求元素個數：求集合a中所有元素的個數的運算，記作card（a）
6.區間的表示：
開區間：（a，b）的乙個區間，表示取從a到b的所有實數，a、b不取
閉區間：[a，b]的乙個區間，表示取從a到b的所有實數，a、b取得
領域：u（a，b）的乙個區間表示（a-b，a+b）稱作點a的b領域，表示以a為中心，b為半徑的乙個區間，若將領域中心去掉，稱為點a的去心b領域，記作（a，b）
二.函式
1.對映：
設a、b為兩個非空集合，存在一對應法則f，使得a中的每個元素都在b中有唯一確定的元素與其對應，則稱f是從a到b的乙個對映，記作f：a→b，其中b的元素稱為在法則f下a中元素的象，a中元素稱謂b中元素的原象
*1.不強調a，b是兩個數集，同時不強調f是某種運算方式
*2.b中有唯一確定的元素與a中某元素對應，但不代表b中乙個元素在a中只能有乙個對應元素，即可以多對一，不可一對多
*3.對映中幾個概念：
單射：a中任意不同元素在b中的象不同，即原不同，象不同
滿射：b中任意元素均能在a中找到其對應的原象
一一對映：同時滿足單射和滿射，即a中原象與b中象是一一對應的
*4.由兩個純粹數集在一運算下完成的對映，稱為函式
2.函式的概念：
給定兩個數集d，m，若存在一對應法則f，使d中每乙個數x，都有唯一確定的乙個數y∈m與它相對應，則稱f是定義在數集d上的乙個函式，y稱為f在x點處的函式值，記作y=f（x）
函式同時可表示為：f：d→m
其中x稱作自變數，y稱作因變數，d稱作定義域，當x取遍定義域d的所有值時對應函式值構成的集合成為f的值域，記作r（f），或rf
*1.如果研究純數學問題，取對函式表示式有意義的一切實數構成的集合稱為函式的自然定義域。當不強調定義域時，預設為d是函式的自然定義域。
*2.函式的表示方法通常使用**法，圖形法和解析式法。
3.初等函式
下列函式稱為基本初等函式：
1） 冪函式
2） 對數函式
3） 指數函式
4） 三角函式
5） 反三角函式
由基本初等函式經過有限次四則混和運算和復合後的函式仍為基本初等函式，基本初等函式在其定義區間上均為連續函式
4.函式的一些性質：
1）有界性：
若y=f（x）是定義在i上的函式，且存在常數m使得對於任意x∈i存在︱f（x）︱≤m，則稱f（x）是區間i上的有界函式。
若該常數m不存在，即對於任意正數m（不論m有多麼大），總存在x∈i，使得︱f（x）︱>m，則稱f（x）是區間i上的無界函式。
*1.討論有界性時的常數m我們只強調其存在性，而不強調其確定性，即存在常數使得滿足關係即可，無論m或是m+1，2m等均可。
*2.區間i可以是函式f（x）的自然定義域，也可能只討論定義域一部分的區間，例如y=x+1在（0，+∞）上是無界的，而在（0，1）上是顯然有界的，所以討論有界性時需強調區間i。
2）單調性
若y=f（x）是定義在i上的函式，且對於i上任意x1，x2，x1①均存在f（x1）②均存在f（x1）>f（x2），則稱f（x）在i上單調遞減
*1.單調增加或單調減少的函式均稱為單調函式
*2.討論函式單調性時同樣需要指明其區間
*3.在證明函式單調性時常用方法：
①設x1，x2∈定義區間i，計算f（x1）-f（x2）的值的正負性。使用這種方法的情況多為f（x）表示式是多項式形式且很有可能因式分解或者加減相消，使得通過減法計算後結果較為簡單方便討論正負性。
②設x1，x2∈定義區間i，計算的值與1的大小關係，注意討論f（x）的正負性，若f（x1），f（x2）均為負，那麼結果正好相反。使用這種方法的情況多為f（x）表示式是分式形式，通過相除可以約分掉許多因式，使得結果方便與1比較大小。
③通過求導，計算其在某個區間上的導數的正負性說明在該區間上遞增或遞減，使用該方法通常情況為較難化簡的復合函式或分式函式，通過求導，較易判斷正負性。
④在不規範證明或者大型證明題中一部分的過程可以使用影象法，說明在某一區間上函式的斜率為正，不推薦使用
3）奇偶性
設f（x）的定義域d關於原點對稱，若對於任意x有f（-x）=f（x）
那麼稱f（x）為偶函式；若對於任意x有f（-x）=-f（x），那麼稱f（x）為奇函式。
*1. f（x）的定義域d必須關於原點對稱，這是討論奇偶性的最基本要求，經常會碰到題目出乙個貌似極其難以化簡討論的函式，讓判斷單調性，但往往其定義域不對稱而可以直接選出「既不是奇函式也不是偶函式」。例如一下函式這一較為複雜的分式函式，但其定義域在r上刨除（-1，0）（1，0）（2，0）顯然關於原點不對稱而可以直接得出「既不是奇函式也不是偶函式」的結論。
*2.如果某個函式是奇函式，且在原點處有定義，那麼f（0）=0，但並不排除在原點的乙個領域內沒有定義（那麼定義域仍關於原點對稱），例如反比例函式，也是奇函式，只是在原點處無定義。
*3.常用證明奇偶性的方法：通常用定義證明，即是否對於任意x存在f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），常變化為f（-x）-f（x）=0或f（-x）+f（x）=0。
*4.通常情況下，由冪函式復合而成的函式奇偶性滿足以下規律：奇函式沒有偶次項，偶函式沒有奇次項（常數可以認為是自變數的0次，即偶次項），既有奇次項又有偶次項的函式既不是奇函式也不是偶函式。
*5.通常情況下，由若干奇函式相加，在其定義域交集的區間上仍是奇函式，但不一定不是偶函式，例如f（x）=x和f（x）=-x均為奇函式，相加得常函式f（x）=0既是奇函式又是偶函式。同樣的由若干偶函式相加，，在其定義域交集的區間上仍是偶函式，但不一定不是奇函式。
由偶數個奇函式相乘得到的函式通常是偶函式，由奇數個奇函式相乘得到的函式通常是奇函式，由若干偶函式相乘得到的函式仍是偶函式。（以上討論均不需要記憶，只需要考慮當自變數變號時相應各部分的符號情況，最後與原式比較可得結論，通過該方法可討論一級運算，二級運算和**運算，但注意運算結果可不可能得到0或1之類的常數）
4）週期性
設函式y=f（x）的定義域為d，若存在常數t>0，使得對於任意x∈d，且x±t∈d，都有f（x±t）=f（x）。那麼稱f（x）為週期函式，t為f（x）的週期，滿足上述條件的最小正數稱為最小正週期。（而通常說到週期時指的是最小正週期）
*1.值得注意，並非所有函式都有最小正週期，例如常函式和狄里赫勒函式d=
*2.設f（x），g（x）均為週期函式，且有最小正週期t，y。那麼函式f（x）= f（x）+g（x）也一定是週期函式。
證：t/y應是有理數，則設t/y=m/n其中m，n為正整數
故nt=my
令u=nt=my
那麼u即為新函式f（x）的乙個週期（注意，並不一定是最小正週期，並且可能新函式沒有最小正週期，例如f（x）=sinx，g（x）=-sinx）
f（x±u）=f（x±nt）+g（x±my）= f（x）+g（x）= f（x）
*3.若f（x）為週期函式且可導，那麼f』（x）也是週期函式。
*4.當乙個函式在定義區間上連續，且為週期函式時，f（x）的值應是乙個有限值。例如證明f（x）=x+cosx在定義區間上不是週期函式。
*5.通常情況下：
①若函式有兩個對稱軸（那麼一定有無數個對稱軸）x=a，x=b（設a>b），那麼函式一定為週期函式，且有乙個週期t=2（a-b）
②若函式有兩個對稱中心（那麼一定有無數個對稱中心）（a，0）（b，0）（設a>b），那麼函式一定為週期函式，且有乙個週期t=2（a-b）
③設函式有乙個對稱中心（a，0）且有乙個對稱軸x=b（那麼一定有無數個對稱中心，對稱軸）（設a>b），那麼函式一定為週期函式，且有乙個週期t=4（a-b）
*6.連續性
從影象上來看，就是函式影象呈一條連續的曲線，沒有間斷（當定義區間出現間斷時曲線間斷的情況除外）
定義為：對於任意x0∈d,在x0的乙個很小的領域中有定義（其中x0也必須有定義），f（x）在x0的左極限和右極限均存在，且f(x)在x0處的左極限等於右極限等於f（x0）的值。
*1.所有基本初等函式，及其經過有限次四則混合運算和復合的函式，在其定義區間上均連續。
5.一些常見函式（必修一）
1）指數函式：
形如y=ax的函式稱為指數函式（a>0且a≠1）
影象不多贅述（a>1時遞增，0*1.指數的運算
*2.進行指數函式的計算時，切記首先討論a的範圍（a>0且a≠1）
*3.常會碰到類似的抽象函式：f（x+y）=f（x）×f（y）且f（x）>0，當x>0時，f（x）>1之類的題目，然後進行一些證明或運算。
碰到該類題目，往往先聯想到指數函式，但不要試圖證明該函式是指數函式，然後思維上通過指數函式的性質和指數的運算先進行題目的證明或計算，找到該題目的切入點，然後再回歸題目進行證明或計算。可以帶入x=y=0，x=1且y=0等進行計算，找到一些常用的值對應的點的座標，然後進行計算。
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