一、複習目標與要求
1．本章主要學習了分式的基本概念和性質，分式的加減法和乘除法、含有字母係數的一元一次方程和分式方程的解法以及可化為一元一次方程的分式方程及其應用。
2．應當注意理解分式、有理式的概念，會求分式有意義的條件。應注意掌握分式的基本性質，能用它將分式變形，並能熟練進行通分和約分，掌握分式加減、乘除的運算法則，進行分式的運算。
3．掌握含有字母係數的一元一次方程的解法，會進行簡單的公式變形，深入理解分式方程的概念，掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，並能判定分式方程的增根，掌握可化為一元一次方程的分式方程的應用題的解法。
4．在進行分式加減運算時要注意通分，在進行分式的乘除運算中，注意對結果的約分化簡。
5．在解含有字母係數的一元一次方程時，用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊時，這個式子的值不能為零，如果無法判斷是否為零，則應當進行討論。
6．解分式方程時，因為可能會產生增根，因而一定要進行檢驗。
二、知識結構梳理
三、重點知識梳理
1．分式及分式的基本性質
2．分式的運算
（1）約分：①約分的概念：把乙個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．②分式約分的依據：
分式的基本性質．③分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然後約去分子與分母的公因式．④約分的結果：最簡分式（分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式）
（2）分式的乘法：乘法法測：·=.
（3）分式的除法：除法法則：÷=·=
（4）分式的乘方：求n個相同分式的積的運算就是分式的乘方，用式子表示就是()n.
分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示為：()n= (n為正整數)
3．分式方程及其應用
（1）分式方程的概念
分母中含有未知數的方程叫分式方程
注意：它和整式方程的區別就在於分母中是否含未知數
（2）分式方程的解法
①方程兩邊都乘以最簡公分母，去分母，化為整式方程；
②解這個整式方程；
③驗根（3）分式方程的應用
列分式方程解應用題的一般步驟：
①審：審清題意；②設：設未知數；③找：
找出相等關係；④列：列出分式方程；⑤解：解這個分式方程；⑥驗：
檢驗，既要驗證根是否是原分式方程的根，又要驗是否符合題意；⑦答：寫出答案
四、易混、易錯問題辨析
1．符號錯誤
例1．不改變分式的值，使分式的分子、分母第一項的符號為正．
錯解：診斷：此題錯誤的原因是把分子、分母首項的符號當成了分子、分母的符號．
正解：．
2．運算順序錯誤
例2．計算：
錯解：原式=．
診斷：分式的乘除混合運算是同一級運算，運算順序應從左至右．
正解：原式=．
3．錯用分式基本性質
例3．不改變分式的值，把分式的分子、分母各項係數都化為整數．
錯解：原式=．
診斷：應用分式的基本性質時，分式的分子、分母必須同乘以同乙個不為0的整式，分式的值不變，而此題分子乘以2，分母乘以3，分式的值改變了．
正解：原式=．
4．約分中的錯誤
例4．約分：．
錯解：原式=．
診斷：約分的根據是分式的基本性質，將分子、分母的公因式約去，若分子、分母是多項式，須先分解因式，再約去公因式．
正解：原式=．
5．結果不是最簡分式
例5．計算：．
錯解：原式=．
診斷：分式運算的結果必須化為最簡分式，而上面所得結果中分子、分母還有公因式，必須進一步約分化簡．
正解：原式=．
6．誤用分配律
例6．計算：．
錯解：原式=．
診斷：乘法對加法有分配律，而除法對加法沒有分配律．
正解：原式=．
7．忽略分數線的括號作用
例7．計算：．
錯解：原式=．
診斷：此題錯誤在於新增分數線時，忽略了分數線的括號作用．
正解：原式=
五、典型問題梳理
例1．判斷下列各代數式中，哪些是分式？
（1）1+ （2） （3）
解：如果式子分母中含有字母，則叫做分式，因此（1）（2）是分式，（3）不是分式。
例2．使分式有意義的條件是什麼？使分式的值為零的條件是什麼？
解：使分式有意義的條件是分母的值為零，所以當|x|－7≠0，即x≠±7時，分式有意義；使分式值為零的條件是分式分子的值不能為零，分母的值不等於零，所以當x+7=0或x－2=0且x≠±7，即x=2時，分式的值為零。
例4．解： 說明：①當分式的分子、分母為多項式時，先要進行因式分解，才能夠依據分式的基本性質進行約分．②注意對分子、分母符號的處理．
例5．先化簡，再求值：（）÷，其中x=2005
解：原式=·==
例6．解方程=1．
解：兩邊同乘以(y+1)(y－1)，去分母，得(y+1)2－4=y2－1，y2+2y+1－4=y2－1，y=1
檢驗：把y=1代入最簡公分母：(y+1)(y－1)=(1+1)(1－1)=0，∴y=1是增根．
所以，原方程無解．
例7．關於x的方程=3有增根，求m的值．
解：方程兩邊都乘以(x－2)，得2x－(3－m)=3(x－2)，把x=2代入上面得到的整式方程，得4－3+m=0．所以m=－1．
說明：若分式方程有增根，則增根一定是使最簡公分母等於零的未知數的值;反過來，使最簡公分母等於零的未知數的值不一定是方程的增根．
例8．某自來水公司水費計算辦法如下：若每戶每月用水不超過5 m3,則每立方公尺收費1.5元；若每戶每月用水超過5 m3,則超出部分每立方公尺收取較高的定額費用.
1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當月水費是17.5元，李家當月水費是27.5元．超出5 m3的部分每立方公尺收費多少元？
解：設超出5 m3部分的水，每立方公尺收費設為x元，根據等量關係，得
+5=（+5）×．解這個方程，得x=2．
經檢驗x=2是所列方程的根．答：超出5 m3部分的水，每立方公尺收費2元．
六、鏈結中考
例9．（河南省）有一道題「先化簡，再求值：，其中．」小玲做題時把「」錯抄成了「」，但她的計算結果也是正確的，請你解釋這是怎麼回事？
解：先化簡：，因為或，的值均為3，原式的計算結果都是7，所以把「」錯抄成「」，計算結果也是正確的．
例9．（江西省）如圖，小明家、王老師家、學校在同一條路上．小明家到王老師家路程為3 km，王老師家到學校的路程為0.5 km,由於小明父母戰鬥在抗「非典」第一線，為了使他能按時到校，王老師每天騎自行車接小明上學.已知王老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時步行上班多用了20分鐘，問王老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？
解：分析題目中的等量關係：王老師騎車速度=王老師步行速度×3;
王老師從家出發騎車接小明所用的時間=平時步行上學所用時間+20分鐘.
設王老師步行速度為x km/h，則騎自行車的速度為3x km/h．
依題意，得=+，解得x=5，經檢驗x=5是原方程的根，
這時3x=15．
答：王老師步行速度為5 km/h,騎自行車的速度為15 km/ h.．
例11．武漢市）2023年8月中旬，我市受14號颱風「雲娜」的影響後，部分街道路面積水比較嚴重．為了改善這一狀況，市政公司決定將一總長為1200m的排水工程承包給甲、乙兩工程隊來施工。若甲、乙兩隊合做需12天完成此項工程；若甲隊先做了8天後，剩下的由乙隊單獨做還需18天才能完工．問甲、乙兩隊單獨完成此項工程各需多少天？又已知甲隊每施工一天需要費用2萬元，乙隊每施工一天需要費用1萬元，要使完成該工程所需費用不超過35萬元，則乙工程隊至少要施工多少天？
解：設甲、乙兩隊單獨完成此項工程分別需要x天，y天．
依題意得解之得
經檢驗知它們適合方程組和題意．
則甲隊每天施工1200÷20=60m，乙隊每天施工1200÷30=40m.
設甲、乙兩隊實際完成此項工程分別需要a天，b天．
依題意得解之得b≥35．
答：甲、乙兩隊單獨完成此項工程分別需要20天，30天；要使完成該工程所需費用不超過35萬元，則乙工程隊至少要施工15天．
分式複習課
主備教師 葉燕林參與教師 梁邦惠 廖漢標 譚志煥 知識網路 思想方法 1 轉化思想 轉化是一種重要的數學思想方法，應用非常廣泛，運用轉化思想能把複雜的問題轉化為簡單問題，把生疏的問題轉化為熟悉問題，本章很多地方都體現了轉化思想，如，分式除法 分式乘法 分式加減運算的基本思想 異分母的分式加減法 同分...
分式綜合複習
初中數學分式複習資料專題 1 分式的有關概念 設a b表示兩個整式 如果b中含有字母，式子就叫做分式 注意分母b的值不能為零，否則分式沒有意義 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式 如果分子分母有公因式，要進行約分化簡 2 分式的基本性質 m為不等於零的整式 3 分式的運算 分式的運算法則與分數的...
分式複習教案
第2課時 教學重點 掌握分式的約分 通分 混合運算。教學難點 分式的混合運算。教案設計 凌桂軍 教學過程 一 知識結構與知識點 1 分式的約分 2 分式的通分 3 分式的乘除 4 分式的混合運算 5 零指數，負整數，整數，整數指數冪的運算a 零指數 b 負整數指數 c 注意正整數冪的運算性質 可以推...