章末知識總結 1

例1　課本題目:北師大版2-1p83習題3-3b組若雙曲線-=1的離心率e∈(1,2),求m的取值範圍.

【解析】由題意可知a2=5,b2=m,所以e===,又e∈(1,2),所以1<<2,解得0高考真題: 2023年江西卷若雙曲線-=1的離心率e=2,則m=　　　　.

【解析】由題意可知a2=16,得a=4.又e==2,所以c=2a=8,所以m=c2-a2=48.

【答案】48

模擬試題: 福建省廈門市高三質量檢查雙曲線-=1的乙個焦點是(0,3),則實數m的值是 (　　)

(a)-7.　　(b)-6.　　(c)-5.　　(d)-4.

【解析】因為焦點(0,3)在y軸上,所以將雙曲線方程-=1變形為-=1,由得m<-3,又(-3-m)+(-m)=32,解得m=-6.

【答案】b

例2　課本題目:人教a版選修2-1p 80第10題已知△abc兩個頂點a,b的座標分別為(-5,0),(5,0),邊ac,bc所在直線的斜率之積等於m(m≠0),試探求頂點c的軌跡.

【解析】設頂點c的座標為(x,y),依題意得·=m,即mx2-y2=25m(x≠±5).

m>0時,頂點c的軌跡方程為-=1(x≠±5),

是焦點在x軸上且除去兩個頂點的雙曲線;

-1-25m,頂點c的軌跡方程為+=1(x≠±5),

是焦點在x軸上且除去左右兩個頂點的橢圓;

m=-1時,25=-25m,頂點c的軌跡方程為x2+y2=25(x≠±5),

是圓心在原點、半徑為5且不包含(-5,0),(5,0)兩點的圓;

m<-1時,25<-25m,頂點c的軌跡方程為+=1(x≠±5),

是焦點在y軸上且除去左右兩個頂點的橢圓.

高考真題: 2023年湖北卷平面內與兩定點a1(-a,0)、a2(a,0)(a>0)連線的斜率之積等於非零常數m的點的軌跡,加上a1、a2兩點所成的曲線c可以是圓、橢圓或雙曲線.

(1)求曲線c的方程,並討論c的形狀與m值的關係.

(2)當m=-1時,對應的曲線為c1;對給定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),對應的曲線為c2.設f1、f2是c2的兩個焦點,試問:在c1上,是否存在點n,使得△f1nf2的面積s=|m|a2?

若存在,求tan∠f1nf2的值;若不存在,請說明理由.

【解析】(1)設動點為m,其座標為(x,y),當x≠±a時,由條件可得·==m,

即mx2-y2=ma2(x≠±a),

又a1(-a,0)、a2(a,0)的座標滿足mx2-y2=ma2,故依題意,曲線c的方程為mx2-y2=ma2.

當m<-1時,曲線c的方程為+=1,c是焦點在y軸上的橢圓;

當m=-1時,曲線c的方程為 x2+y2=a2,c是圓心在原點的圓;

當-1當m>0時,曲線c的方程為-=1,c是焦點在x軸上的雙曲線.

(2)由(1)知,當m=-1時,c1的方程為x2+y2=a2;

當m∈(-1,0)∪(0,+∞)時,c2的兩個焦點分別為f1(-a,0),f2(a,0).

對於給定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),c1上存在點n(x0,y0)(y0≠0)使得△f1nf2的面積s=|m|a2的充要條件是

由①得0<|y0|≤a,由②得|y0|=.

當0<≤a,即≤m<0或0當》a,即-1時,不存在滿足條件的點n.

當m∈[,0)∪(0,]時,

由=(-a-x0,-y0),=(a-x0,-y0),可得

·=-(1+m)a2+=-ma2,

設||=r1,||=r2,∠f1nf2=θ,

則由·=r1r2cos θ=-ma2,可得r1r2=-,

從而s=r1r2sin θ=-=-ma2tan θ,

於是由s=|m|a2,

可得-ma2tan θ=|m|a2,即tan θ=-.

綜上可得:

當m∈[,0)時,在c1上,存在點n,使得s=|m|a2,且tan∠f1nf2=2;

當m∈(0,]時,在c1上,存在點n,使得s=|m|a2,且tan∠f1nf2=-2;

當m∈(-1,)∪(,+∞)時,在c1上,不存在滿足條件的點n.

模擬試題:江西省南康中學開學初摸底試題在平面直角座標系xoy中,圓a:(x+1)2+(y-1)2=1的圓心與點b關於原點o對稱,p是動點,且直線ap與bp的斜率之積等於-.

(1)求動點p的軌跡方程.

(2)設直線ap和bp分別與直線x=3交於點m,n,問:是否存在點p使得△pab與△pmn的面積相等?若存在,求出點p的座標;若不存在,說明理由.

【解析】(1)由題意有a(-1,1),所以點b的座標為(1,-1).

設點p的座標為(x,y),由題意得·=-,化簡得x2+3y2=4(x≠±1).

故動點p的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1).

(2)若存在點p使得△pab與△pmn的面積相等,設點p的座標為(x0,y0),

則|pa|·|pb|sin∠apb=|pm|·|pn|·sin ∠mpn.

因為sin∠apb=sin∠mpn,所以=,

所以=,即(3-x0)2=|-1|,解得x0=.

因為+3=4,所以y0=±.

故存在點p使得△pab與△pmn的面積相等,此時p點的座標為(,±).

【點評】通過以上習題,我們可以看出:

1.橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質是解析幾何中的基礎,高考所考的試題都要涉及這些內容.解決此類問題,通常要先看題目的條件,確定焦點的位置及a,b,c,p,e,再依據它們之間關係式求解.

課本中有很多關於圓錐曲線基本性質的題目,許多高考題及各地的模擬題往往會根據課本中經典的例題進行改編,所以在複習中我們要重視課本中比較好的題目.

2.求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本題型之一,是高考考查的乙個熱點與重點.直接法是求軌跡方程的最基本方法,如果題目中的條件有明顯的等量關係,或者可以利用平面幾何知識推出等量關係,求軌跡方程時可用直接法.

求出方程後,可通過研究方程進一步確定曲線的型別、形狀和位置等.對所求的曲線再進一步拓展探求它的相關問題,或者與其他問題嫁接形成乙個新題,使得整個題具有綜合性,是高考命題常用的手段,因此對於課本中的好題,我們要能深入挖掘它的潛在價值.

引數思想在求軌跡方程中的應用

例已知拋物線y2=4px(p>0),o為頂點,a、b為拋物線上的兩動點,且滿足oa⊥ob,如果om⊥ab於m點,求點m的軌跡方程.

【分析】(1)點m的運動是由a點的運動引起的,而a的變化又和oa的斜率有關.(2)若oa的斜率確定,a的座標確定,m的座標也確定,所以可選oa的斜率為引數.

【解析】設點m的座標為(x,y),直線oa的方程為y=kx,

顯然k≠0,則直線ob的方程為y=-x.

由　　解得a點的座標為(,),

類似地可得b點的座標為(4pk2,-4pk),

從而知當k≠±1時,kab==.

故得直線ab的方程為y+4pk=(x-4pk2),

即(-k)y+4p=x,　①

直線om的方程為y=-(-k)x.　②

可知m點的座標同時滿足①②,

由①及②消去k得4px=x2+y2,

即(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),

當k=±1時,容易驗證m點的座標仍適合上述方程.

故點m的軌跡方程為(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),它表示以點(2p,0)為圓心,以2p為半徑的圓.

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