一、選擇題
1．函式y＝2cos2(x＋)－1的乙個單調遞增區間是( )
ab．(，)
cd．(－，)
【解析】y＝2cos2(x＋)－1＝cos 2(x＋)＝cos(2x＋)＝－sin 2x，
由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈z)得，
kπ＋≤x≤kπ＋，令k＝0知選b.
【答案】 b
2．在△abc中，a＝，b＝，a＝30°，則c等於( )
a．2 b.
c．2或 d．以上都不對
【解析】∵sin b＝＝，∴b＝60°或120°.
當b＝60°時，∠c＝90°，c＝2；
當b＝120°時，∠c＝30°，c＝a＝.
【答案】 c
3.的值為( )
a．2＋ b.
c．2－ d.
【解析】sin 9°＝sin(15°－6°)＝sin 15°cos 6°－cos 15°sin 6°，
cos 9°＝cos(15°－6°)＝cos 15°cos 6°＋sin 15°sin 6°，
∴原式＝
＝tan(45°－30°)
＝＝2－.
【答案】 c
4．對於函式f(x)＝(0＜x＜π)，下列結論正確的是( )
a．有最大值無最小值 b．有最小值無最大值
c．既有最大值又有最小值 d．既無最大值又無最小值
【解析】(法一)令t＝sin x，t∈(0,1]，則y＝1＋，t∈(0,1]是乙個減函式，則f(x)只有最小值而無最大值．
(法二)由y＝1＋，得出sin x＝，由sin x∈(0,1]可求出y≥2，故選b.
【答案】 b
5．方程x＝sin x在x∈[－π，π]上實根的個數為( )
a．1 b．2
c．3 d．4
【解析】(法一)此題可利用數形結合的方法，在同一座標系中，畫出y1＝x和y2＝sin x的圖象，由圖象易知它們在[－π，π]上只有乙個交點(注意x∈(－，π)時有x＞sin x成立)，即方程x＝sin x在x∈[－π，π]上實根只有1個，故選a.
(法二)令f(x)＝x－sin x，顯然f(0)＝0.
又x∈[－π，0)∪(0，π]時，f′(x)＝1－cos x＞0，
∴f(x)在[－π，0)上和(0，π]上都是增函式，
故f(x)＝0在[－π，π]上只有乙個實根．
【答案】 a
6．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a＞1)的兩根為tan α、tan β，且α，β∈(－，)，則tan的值是( )
a. b．－2
c. d.或－2
【解析】∵
∴則－π＜α＋β＜0，－＜＜0，
且tan(α＋β)＝＝，
∴tan(α＋β)＝＝tan＝－2.
【答案】 b
7．已知sinsin(α＋β)＝cos α，則tan(α＋β)等於( )
a．－2 b．2
c．1 d.
【解析】∵sin
∴cos β＝－，
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β
＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)．
∵cos α＝sin(α＋β)，
∴tan(α＋β)＝－2.
【答案】 a
8．函式y＝sin(ωx＋φ)＋1的一段圖象如圖所示，則它的最小正週期t及φ依次可為( )
a．t＝2π，φ＝－π
b．t＝2π，φ＝－π
c．t＝π，φ＝－π
d．t＝π，φ＝－π
【解析】＝－＝，
所以週期t＝π，ω＝＝2，
將點(，2)代入得，sin(2×＋φ)＋1＝2，
∴φ＝－＋2kπ(k∈z)，∴選c.
【答案】 c
9．在△abc中，已知sin a∶sin b∶sin c＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值範圍是( )
a．(2b．(－∞，0)
c．(－，0) d．(，＋∞)
【解析】由正弦定理得a∶b∶c＝k∶(k＋1)∶2k，
據三角形性質知
∴k＞.
【答案】 d
10．已知f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b對任意實數x有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，則實數b的值為( )
a．－1 b．3
c．－1或3 d．－3
【解析】由f(x＋)＝f(－x)可知函式f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b關於直線x＝對稱，又函式f(x)在對稱軸處取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或3.
【答案】 c
11．已知a＝(2cos α，2sin α)，b＝(3cos β，3sin β)，若a，b的夾角為60°，則直線xcos α－ysin α＋＝0與圓(x－cos β)2＋(y＋sin β)2＝的位置關係是( )
a．相交但不過圓心 b．相交且過圓心
c．相切 d．相離
【解析】由題意可知cos 60°＝
＝，∴cos(α－β)＝.又圓心(cos β，－sin β)到直線xcos α－ysin α＋＝0的距離為d＝|cos βcos α＋sin αsin β＋|＝|cos(α－β)＋|＝1＞，故相離．
【答案】 d
12．函式y＝4sin(ωx＋)cos(ωx－)－2sin(ωx－)·cos(ωx＋)(ω＞0)的圖象與直線y＝3在y軸右側的交點按橫座標從小到大依次記為p1，p2，p3，p4…，且|p3p5|＝，則此函式的遞增區間為( )
a．[2kπ－，2kπ＋](k∈z)
b．[－，＋](k∈z)
c．[kπ－，kπ＋](k∈z)
d．[，＋](k∈z)
【解析】y＝4sin(ωx＋)cos(ωx－)－2sin(ωx－)cos(ωx＋)
＝4sin(＋ωx)cos(－ωx)＋2sin(－ωx)cos(＋ωx)＝4cos2(－ωx)＋2sin2(－ωx)
＝2cos2(－ωx)＋2＝cos(－2ωx)＋3＝sin 2ωx＋3.
易知週期t＝|p3p5|＝，∴ω＝2，∴y＝sin 4x＋3，故遞增區間為[－，＋](k∈z)．
【答案】 b
二、填空題
13．在△abc中，b＝2，a＝2，且三角形有兩解，則a的取值範圍是________．
【解析】由題設知2＞2sin a，∴sin a＜.
∵a＜b，∴a為銳角，∴0＜a＜.
【答案】 (0，)
14．在△abc中，ab＝3，bc＝，ac＝4，則邊ac上的高為________．
【解析】在△abc中，cos a＝＝，
∴a＝60°，s△abc＝×3×4×sin 60°＝3.
又s△abc＝ac·h，
∴h＝，即ac邊上的高為.
【答案】
15．已知α，β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tan
【解析】∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)．
又β∈(0，)，∴cos β＋sin β≠0，∴tan α＝1.
【答案】 1
16．下列命題中
①若－＜α＜β＜，則α－β的範圍為(－π，π)；
②若α在第一象限，則在第
一、三象限；
③若sin θ＝，cos θ＝，則m∈(3,9)；
④sin＝，cos＝－，則θ在第一象限．
正確的命題的序號有______．
【解析】若－＜α＜β＜，
則α－β的範圍為(－π，0)，∴①錯．
∵sin θ＝，cos θ＝，sin2θ＋cos2θ＝1，
∴m＝0或m＝8，故③錯．
sin θ＝2sincos＝－，
故θ不在第一象限，④錯．
【答案】 ②
三、解答題
17．問a為何值時，函式f(x)＝log (－3sin2x＋2asin x＋4)的定義域為全體實數？
【解析】令g(x)＝－3sin2x＋2asin x＋4，
∵f(x)的定義域為全體實數，
故對任意的實數x都有g(x)＝－3sin2x＋2asin x＋4＞0恆成立．
令sin x＝t，則t∈[－1,1]，則－3t2＋2at＋4＞0，即當t∈[－1,1]時，h(t)＝3t2－2at－4＜0恆成立．
這樣只需∴∴－＜a＜.
18．已知函式f(x)＝2sin2(＋x)－cos 2x，x∈[，]．
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式[f(x)－m]2＜4在x∈[，]上恆成立，求實數m的取值範圍．
【解析】(1)∵f(x)＝[1－cos(＋2x)]－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2sin(2x－)．
又∵x∈[，]，∴≤2x－≤，
∴2≤1＋2sin(2x－)≤3，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
(2)∵[f(x)－m]2＜2恆成立，
∴f(x)－2＜m＜f(x)＋2在x∈[，]上恆成立，
∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，∴1＜m＜4，即m的取值範圍是(1,4)．
19．已知△abc的周長為＋1，且sin a＋sin b＝sin c.
(1)求邊ab的長；
(2)若△abc的面積為sin c，求角c的度數．
【解析】(1)由題意及正弦定理得，
ab＋bc＋ac＝＋1，bc＋ac＝ab，
兩式相減得，ab＝1.
(2)由△abc的面積bc·ac·sin c＝sin c得，
bc·ac＝，∵ab＝1，∴ac＋bc＝，
由餘弦定理得，cos c＝
＝＝，∴c＝60°.
20．已知函式f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋(ω＞0，x∈r)的最小週期為.
(1)求f()的值，並求出函式f(x)的圖象的對稱中心的座標；
(2)當x∈[，]時，求函式f(x)的單調遞減區間．
【解析】f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin(2ωx－)．
(1)∵函式f(x)的最小正週期為，ω＞0，
∴＝，即ω＝2，
∴f(x)＝sin(4x－)，
∴f()＝sin(－)＝sin＝1，
令4x－＝kπ(k∈z)，得x＝＋(k∈z)．
∴函式f(x)圖象的對稱中心座標為(＋，0)(k∈z)．
(2)當x∈[，]時，4x－∈[，]．
∵當4x－∈[，]時，函式f(x)是減函式，
∴當x∈[，]時，函式f(x)的單調遞減區間為[，]．
21．據氣象台預報，距s島300 km的a處有一颱風中心形成，並以每小時30 km的速度向北偏西30°角的方向移動，在距颱風中心270 km以內的地區將受到颱風的影響．問：s島是否受其影響？若受到影響，從現在起經過多少小時s島開始受到颱風的影響？
持續時間多久？說明理由．
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