一、空間幾何體的畫法及表面積、體積計算
立體圖形和平面圖形的轉化是立體幾何主要的考點．一方面，由幾何體能夠畫出其平面圖，如三檢視、直觀圖等；另一方面，由三檢視能夠想象出幾何體的形狀，並能研究其表面積、體積等．
例1 一幾何體的三檢視如圖所示，尺寸如圖中所示．
(1)說出該幾何體的結構特徵並畫出直觀圖；
(2)計算該幾何體的體積與表面積．
變式訓練1 若乙個底面為正三角形、側稜與底面垂直的稜柱的三檢視如下圖所示，則這個稜柱的體積為
例2 梯形a1b1c1d1是一平面圖形abcd的直觀圖(斜二測)，若a1d1∥o1y1，a1b1∥c1d1，a1b1＝2，c1d1＝3，a1d1＝1，則abcd的面積是________．
變式訓練2 等腰梯形abcd，上底cd＝1，腰ad＝cb＝，下底ab＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖a′b′c′d′的面積為______．
二、平面基本性質的應用
1．關於多點共線問題往往需證明這些點在某兩個平面的交線上．
2．多線共點問題的證明往往讓其他線都過某兩條線的交點．
3．多點共面問題的證明往往讓其他點在某三點或四點確定的平面上．
4．多線共面問題的證明往往讓其他線在某兩條直線確定的平面內．
例3 如圖所示，空間四邊形abcd中，e，f分別為ab，ad的中點，g，h分別在bc，cd上，且bg∶gc＝dh∶hc＝1∶2．
求證：(1)e、f、g、h四點共面；
(2)ge與hf的交點在直線ac上．
變式訓練3 如圖，四邊形abb′a′，bcc′b′，caa′c′都是梯形．求證：三直線aa′，bb′，cc′相交於一點．
三、直線、平面的位置關係
1．空間平行關係的判定方法：
(1)判定線線平行的方法．
①利用線線平行的定義證共面而且無公共點(結合反證法)；
②利用平行公理4；
③利用線面平行性質定理；
④利用線面垂直的性質定理(若a⊥α，b⊥α，則a∥b)；
⑤利用面面平行性質定理(若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b)．
(2)判斷線面平行的方法：
①線面平行的定義(無公共點)；
②利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α)；
③面面平行的性質定理(α∥β，aαa∥β)；
④面面平行的性質(α∥β，aα，aβ，a∥αa∥β)．
(3)面面平行的判定方法有：
①平面平行的定義(無公共點)；
②判定定理(若a∥β，b∥β，a、bα，且a∩b＝a，則α∥β)；
③判定定理的推論(若a∥a′，b∥b′，aα，bα且a∩b＝a，a′β，b′β，且a′∩b′＝a′，則α∥β)；
④線面垂直性質定理(若a⊥α，a⊥β，則α∥β)；
⑤平面平行的性質(傳遞性
平行關係的轉化是：
2．空間垂直關係的判定方法：
(1)判定線線垂直的方法有：
①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角)；
②線面垂直的性質(若a⊥α，bα，則a⊥b)；
③面面垂直的定義：若兩平面垂直，則兩平面相交形成的二面角的平面角為90°．
(2)判定線面垂直的方法有：
①線面垂直定義(一般不易驗證任意性)；
②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c＝ma⊥α)；
③平行線垂直平面的傳遞性質(a∥b，b⊥αa⊥α)；
④面面垂直的性質(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥la⊥α)；
⑤面面平行的性質(a⊥α，α∥βa⊥β)；
⑥面面垂直的性質(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γl⊥γ)．
(3)面面垂直的判定方法有：
①根據定義(作兩平面構成二面角的平面角，計算其為90°)；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，aαα⊥β)．
垂直關係的轉化是：
例4 如圖所示，在四稜錐p—abcd中，側面pad是正三角形，且與底面abcd垂直，底面abcd是邊長為2的菱形，∠bad＝60°，n是pb的中點，過a，d，n的平面交pc於m，e為ad的中點．求證：
(1)en∥平面pdc；
(2)bc⊥平面peb；
(3)平面pbc⊥平面admn．
變式訓練4 如圖所示，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是正方形，側稜pd⊥底面abcd，pd＝dc，e是pc的中點，過e點作ef⊥pb交pb於點f．求證：
(1)pa∥平面edb；
(2)pb⊥平面efd．
第一章章末總結答案
例1 解 (1)由三檢視知該幾何體是由乙個圓柱與乙個等底圓錐拼接而成的組合體，其直觀圖如圖所示．
(2)由三檢視中尺寸知，組合體下部是底面直徑為8 cm，高為20 cm的圓柱，上部為底面直徑為8 cm，母線長為5 cm的圓錐．
易求得圓錐高h＝＝3(cm)，
∴體積v＝π·42·20＋π·42·3＝336π(cm3)，
表面積s＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5
＝196π(cm2)．
∴該幾何體的體積為336π cm3，表面積為196π cm2．
點評三檢視畫法：它包括主檢視、左檢視、俯檢視三種．畫圖時要遵循「高平齊、長對正、寬相等」的原則，同時還要注意被擋住的輪廓線畫成虛線．
變式訓練1 36
解析觀察三檢視得稜柱底面正三角形的高和側稜長．注意圖中資料3是底面正三角形的高，不是邊長．
稜柱的側稜長為4，底面正三角形的高為3，設邊長為a，則a＝3，所以a＝6．所以底面積為a2＝9．所以稜柱的體積為9×4＝36．
例2 5
解析把圖還原，abcd為直角梯形，ab＝a1b1＝2，cd＝c1d1＝3，ad＝2a1d1＝2．
∴s梯abcd＝＝5．
點評斜二測畫法：主要用於水平放置的平面圖畫法或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行於x，y，z軸的線段分別為平行於x′，y′，z′軸的線段；③截線段，平行於x，z軸的線段的長度不變，平行於y軸的線段的長度變為原來的一半．
變式訓練2
解析 ∵oe＝＝1，∴o′e′＝，e′f＝，
∴直觀圖a′b′c′d′的面積為
s′＝×(1＋3)×＝．
例3 證明 (1)∵bg∶gc＝dh∶hc，
∴gh∥bd，又ef∥bd，∴ef∥gh，
∴e、f、g、h四點共面．
(2)∵g，h不是bc、cd的中點，∴ef≠gh．
又ef∥gh，
∴eg與fh不平行，則必相交，設交點為m．
m∈面abc且m∈面acd
m在面abc與面acd的交線上
m∈ac．
∴ge與hf的交點在直線ac上．
點評證明線共點、點共線、線共面問題，重要是應用平面的基本性質，先證部分元素共點、共線、共面，再利用公理1,2,3證明其他元素也具有這個性質，要熟練地掌握這三個公理．
變式訓練3 證明梯形abb′a′中，a′b′∥ab．
∴aa′，bb′在同一平面a′b內．
設直線aa′，bb′相交於點p，
同理bb′、cc′同在平面bc′內，cc′、aa′同在平面a′c內．
∵p∈aa′，aa′平面a′c，
∴p∈平面a′c．
同理點p∈平面bc′．
根據公理2，點p在平面a′c與平面bc′的交線上，而平面a′c∩平面bc′＝cc′，故點p ∈直線cc′，即三直線aa′、bb′、cc′相交於一點．
第1章章末總結
章末總結 知識點一導數與曲線的切線 利用導數的幾何意義求切線方程時關鍵是搞清所給的點是不是切點，常見的型別有兩種，一類是求 在某點處的切線方程 則此點一定為切點，先求導，再求斜率代入直線方程即可得 另一類是求 過某點的切線方程 這種型別中的點不一定是切點，可先設切點為q x1，y1 則切線方程為y ...
第1章章末總結
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第2章章末總結
章末總結 知識點一圓錐曲線的定義和性質 對於圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定 題的意識，回歸定義 是一種重要的解題策略 應用圓錐曲線的性質時，要注意與數形結合思想 方程思想結合起來 總之，圓錐曲線的定義 性質在解題中有重要作用，要注意靈活運用 例1 已知雙曲線的焦點在x軸上，離心率為2，f1，...