在乙個命題的題設或結論中,含有角平分線時,一般可根據如下幾個基本圖形得到相應的解題思路,從而使問題得以解決.當然,不論哪種方法,都是構造以角平分線為對稱軸的軸對稱圖形.■■
一、平行線+角平分線→等腰三角形
當乙個三角形**現角平分線和平行線時,一定會有等腰三角形出現.
例1.如圖1,在△abc中,bd平分∠abc,de∥bc交ab於e,ef∥ac交cb於f,問:be與cf的數量關係並證明.
■思路點撥:本題中含有基本圖形1,由bd平分∠abc,de∥bc交ab於e,容易證出be=ed,由de∥bc,ef∥ac,可得平行四邊形defc,於是可得fc=ed,所以fc=be.
二、角平分線+翻摺→全等三角形
當乙個三角形**現角平分線時,應抓住兩個角相等,角平分線是公共邊這兩個條件,適時構造全等三角形,即構造基本圖形2.
例2.如圖2,在△abc中,ad平分∠bac,ce平分∠acd,ad、ce交於f,∠b=60°,求證:ac=ae+cd.
■思路點撥:證線段的和或差,常用截長或補短的方法.
由角的軸對稱性,可構造基本圖形2,即在ac上擷取ah=ae,
鏈結hf用sas可證△aef≌△ahf,得到∠afh=∠afe,
由條件ad平分∠bac,ce平分∠acd,∠b=60°,可求出∠afc=120°,於是可得到∠afh=∠afe=60°.於是可得∠cfd=∠cfh=60°.再用asa可證△cdf≌△chf,得ch=cd,則ac=ah+cf=ae+cd.
三、由角平分線上的點向角的邊作垂線,構成基本圖形3
當題目中已知角平分線上的點,由該點向一條邊作了垂直線時,往往過該點向另一邊作垂直,構成基本圖形3.
例3.如圖3,在△abc中,bc的垂直平分線與△abc的外角平分線交於d,與bc交於e,df⊥ab於ab交於f,求證:bf-af=ac.
■思路點撥:d是△abc的外角平分線上的點,df⊥ab於ab,見垂直作垂直,可構造基本圖形3,作dg⊥ac,由角平分線的性質可知df=dg,de是bc的垂直平分線,鏈結db、dc,可得db=dc,根據hl,可證△bdf≌△cdg,於是bf=cg.通過aas,可證△adg≌△adf,得到af=ag,由cg-ag=ac可得bf-af=ac.
角平分線定理
角平分線的定義 從乙個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。三角形的角平分線定義 三角形頂點到其內角的角平分線交對邊的點連的一條線段，叫三角形的角平分線。注 三角形的角平分線不是角的平分線，是線段。角的平分線是射線。拓展 三角形的三條角平分線相交於一點，並且這...
角平分線定理
第十一講角平分線定理 學習目標 1 掌握角平分線的定理和逆定理。2 能應用角平分線定理和逆定理進行作圖和證明。3 進一步掌握推理證明的方法，拓發展演繹推理能力，培養思維能力。知識要點 1 角平分線性質定理的證明及應用。定理 角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理解釋 點到這個角邊的距離 實際上...
1 4 2角平分線
第10課時 教學目標 1 進一步發展學生的推理證明意識和能力 2 能夠利用尺規作已知角的平分線 教學重點和難點 重點 角平分線的相關結論 難點 角平分線的相關結論的應用 教學過程設計 一 從學生原有的認知結構提出問題 在學習線段的垂直平分線時，我們發現，三角形三邊的垂直平分線交於乙個點。我們看看，三...