§4 層次分析法
例1 國家綜合實力分析
例2 資源開發的綜合判斷某發展中國家有7種可供開發的礦產資源:鐵ir,銅cu,磷酸鹽ph,鈾ur,鋁al,金go,金剛石di，開發這些資源有關的因素有：潛在經濟價值，開採費用，風險，需求，戰略重要性，交通條件。
例3 大學畢業生工作選擇
例4 科技成果的綜合評價
上述問題的乙個共同特點是它們都通常涉及到經濟、社會、人文等方面的因素。在作比較、判斷、評價、決策時，這些因素的重要性、影響力或者優先程度往往難以量化，人的主觀選擇會起著相當重要的作用，這就給用一般的數學方法(機理分析和統計分析)解決問題帶來本質上的困難。
t.l.saaty等人在二十世紀七十年代提出了一種能有效地處理這樣一類問題的實用方法，稱層次分析法(簡記ahp)，是一種定性和定量相結合的、系統化、層次化的分析方法，由於它在處理複雜的決策問題上的實用性和有效性，很快就在世界範圍內得到普遍重視和廣泛應用。
它的應用已遍及經濟計畫和管理、能源、行為科學、軍事指揮、運輸、農業、教育、醫療、環境等領域。從處理問題的型別看，主要是決策、評價、分析、**等。單是saaty 等人就曾用它解決過一些國際或國家級的重大課題，如2023年世界石油**的**、蘇丹運輸系統的研究、美國未來高等教育(1985-2000)規劃等。
這個方法二十世紀八十年代初引入我國，很快為有關領域的技術人員所接受，得到了成功的應用。
下面以乙個例子來介紹ahp的基本步驟。
1、 建立層次結構模型
在分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按不同屬性自上而下地分解成若干層次。同一層次的諸因素從屬於上一層的因素或對上層因素有影響，同時又支配下一層的因素或受下層因素的作用，最上層為目標層，最下層為方案層，中間可有1個或幾個層次，稱為準則層。
2、構造成對比較矩陣
從層次結構模型的第二層開始，對於從屬於上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1—9比較尺度構造成對比較陣，直到最下層。
例如要比較對上層因素o的影響，每次取兩個因素和，用表示和對o的影響之比。全部比較結果用成對比較矩陣
來表示，這裡是相對比較尺度，其含義如下：
尺度含義尺度含義
1對的影響相同2，4，6，8 對的影響之比在上
3對的影響稍強述兩相鄰等級之間
5對的影響強1， 對的影響之比為上
7對的影響明顯地強面的互反數
9對的影響絕對地強
這裡設某人得到成對比較陣為
3、計算權向量並做一致性檢驗
成對比較陣a應滿足
稱這樣的a為一致性矩陣。它有下面性質：
1），a的唯一非零特徵根為；
2）a的任一列向量都是對應於特徵根的特徵向量。
取對應特徵根的，歸一化的特徵向量（即分量之和為1）表示諸因素對上層因素o的權重，這個特徵向量稱為權向量。
仔細分析一下本例的a，可以發現，，，一般地，個因素要做次成對比較，不容易做到完全一致。因為矩陣a的特徵根和特徵向量連續地依賴於矩陣的元素，所以當離一致性的要求不遠時，a的特徵根和特徵向量也與一致陣相差不大，saaty等人建議，如果成對比較陣a不是一致陣，但在不一致的容許範圍內，仍可以用對應於a的最大特徵根的特徵向量（歸一化）作為權向量w.
但怎樣確定a的不一致程度的容許範圍呢？就要進行一致性檢驗，步驟是
1） 計算一致性指標
2） 查下表得出隨機一致性指標的數值
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
3） 對，計算一致性比率
4） 若，認為a的不一致程度在容許範圍之內，可用其特徵向量作為權向量，否則應重新構造成對比較陣。
本例中，a的，，，通過一致性檢驗。的一致性檢驗見下表：
1 2 3 4 5
3.005 3.002 3.000 3.009 3.000
0.595 0.082 0.429 0.633 0.166
0.277 0.236 0.429 0.193 0.166
0.128 0.682 0.142 0.174 0.668
0.003 0.001 0 0.005 0
0.0051 0.0017 0 0.0086 0
可見全通過一致性檢驗.
4、計算組合權向量並做組合一致性檢驗
由各準則對目標的權向量和各方案對每個準則的權向量，計算各方案對目標的權向量，稱組合權向量，計算辦法是，以為列向量構成矩陣
則第3層對第1層的組合權向量為
本例中在層次分析的整個計算過程中，除3對每個成對比較陣進行一致性檢驗，以判斷每個權向量是否可以應用外，還應對最後結果進行組合一致性檢驗，以確定組合權向量是否可以作為最終的決策依據。
第3層對第1層的組合一致性比率為
其中即前面的，
當時認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗，可按組合權向量表示的結果進行決策，否則需要重新構造那些一致性比率較大的成對比較矩陣。
本例中，可以算出，，，於是
通過了組合一致性檢驗，於是結果表明方案在旅遊地選擇中的權重近於，遠大於，應作為第一選擇地點。
數學建模案例分析 最優化方法建模1引言
1 其中是第個施工點與第料場之間的距離。2 1 2 給出了這個模型的目標函式，模型的約束條件有三個 一是保證各施工點的需求量，即 3 二是不超出各料場的最大容量，即 4 三是對的自然要求 5 綜上，這個模型概括為在條件 3 5 下求和，使由 1 2 給出的目標函式最小。一般地說，這一類優化模型可以表...
數學建模方法之層次分析法
在此問題中，你會根據諸如景色 費用 居住 飲食和旅途條件等一些準則去反覆比較3個侯選地點。可以建立如下的層次結構模型。目標層選擇旅遊地 準則層景色費用居住飲食旅途 措施層1.2 構造判斷矩陣 層次結構反映了因素之間的關係，但準則層中的各準則在目標衡量中所佔的比重並不一定相同，在決策者的心目中，它們各...
小學數學教學細節案例反思與對策
下面是 平行四邊形面積計算 一節課的教學片斷 1.出示兩 形。提問 每組的兩個圖形面積相等嗎？你是怎樣想的？在小組裡交流。學生交流思考方法，教師指出可以應用轉化的方法比較兩個圖形的大小。揭示課題。2.出示畫在方格紙上的平行四邊形，學生操作，把平行四邊形轉化成長方形。交流操作情況，介紹轉化方法。討論 ...