抽取數學模型體悟思想方法
作者姓名：吳梅珍
通訊位址：江西省新幹縣環城南路20號3棟2單元302信箱
郵編：331300
本次所學的《植樹問題》是人教版義務教育課程標準實驗教材四年級下冊第八單元的內容，這一問題是離學生生活很近的一種數學問題，對於這一問題的的各種現像（種樹、在路邊安裝路燈、掛燈籠、排隊、鋸木頭、爬樓梯……）學生雖有一定的生活經驗，但對於這些現象中所蘊含的數學規律及這些規律的理解、掌握、運用卻是有一定難度的。因此，教學時，應從實際問題入手，創設一種適合學生**的情境，讓學生通過動手操作——猜測驗證——比較分析——歸納總結等數學活動逐步發現隱含的規律，經歷抽取出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決實際問題中的應用。
一．創設情境，引入新課
師：同學們，我們班的教室在幾樓？
生：三樓。
師：可是有一次，吳老師從一樓開始，一下上了三層的樓梯卻找不到我們班，這是為什麼？
（全班學生遲疑了一會兒，既而紛紛舉手）
生：第一層沒有樓梯，上三樓只要走兩層的樓梯
生：吳老師走到了四樓，
師：像這樣從一樓到二樓要走乙個樓層的樓梯，這乙個樓層的樓梯在數學上也可以說是乙個「間隔」，剛才吳老師走了幾個間隔？
生：兩個。
師：生活中的「間隔」到處可見。你們看到了嗎？
生：教室裡桌子與桌子之間有間隔
生：排隊做早操時人和人之間有間隔
生：路邊種樹，樹之間有間隔
生：春節掛燈籠時，燈籠之間也有間隔
生：……
師：同學們，像爬樓梯、植樹、排隊等現象中藏著許多有趣的數學問題，這就是我們今天要研究的植樹問題。（板書課題：植樹問題）
【從學生熟悉的「爬樓梯」引入，製造一種矛盾衝突，既啟用學生的思維，又激發學生的興趣，讓學生感受到數學就在我們的身邊；舉例說出生活中的間隔，為大部份學生提供一種生活表象，同時為下面的**活動做了良好的鋪墊。】
二 . 自主** ，發現規律
課件展示情境：在校門口，有一條小路全長100公尺，需要種樹來美化它，在小路的一側每隔5公尺栽一棵樹，兩端都要栽，一共能栽多少棵樹？你們得到了什麼數學資訊？
師：大家看這幾個字「兩端都要栽」，你們是怎麼理解兩端都要栽的含義的？
生：頭和尾都要栽。
師：（出示乙個線段圖），我們假設這條線就是100公尺長的小路，哪位同學能上來指一指這條路的兩端分別是**？那現在請大家大膽地猜想一下（板書：
猜想），究竟這個100公尺的小路上需要栽多少棵樹呢？你們又是怎麼想的呢？請說出你的算式和答案。
板書列式： 10÷5=20棵 ②100÷5+2=22棵 ③100÷5+1=21棵
師：請同學們觀察這幾個算式，從這幾個不同的算式中你發現了什麼？
生：發現算式中都有：100÷5
師：100代表什麼？5代表什麼？
生：100是全長100公尺，5公尺就是乙個間隔的長度。
師：100÷5都是在求什麼？
生：間隔數（有1個5公尺，就有乙個間隔。又有乙個5公尺，又有乙個間隔，100÷5就是在求100公尺里有幾個5公尺，也就是有幾個間隔，所以叫間隔數。）
師：同學們都想到了去找間隔數，你們都認為棵樹與間隔數有著密切的關係，老師可以肯定地告訴大家你們的思考方向完全正確，只是有的同學認為棵樹等於間隔數；有的同學認為棵樹比間隔數多一或多二。三種答案誰對誰錯，那麼棵數與間隔數又究竟是怎樣的關係呢？
用什麼方法來驗證呢？（板書：驗證）
生1：列式。（指著列式，已經列出了，沒有分出對錯，還有什麼方法？）
生2：畫圖。
師：畫圖是個好方法，【課件】顯示：隔5公尺種一棵，再隔5公尺種一棵……，一直畫到100公尺！感覺怎樣？
生：太多了，太麻煩了。
師：那怎麼辦呢？我們用乙個小一點的數字一起來研究兩頭都種時間隔數和棵樹之間的關係，你們說行嗎？
我們假設這條小路長20公尺，看看能種幾棵樹？請同學們以同桌為乙個小組按照每隔5公尺種一棵的要求進行模擬植樹。（課件出示**）
研究表（一）
師：誰把你們的畫法展示給大家看，為什麼4個間隔能種5棵樹呢？
生：每隔5公尺種一棵，乙個間隔跟著一棵樹，乙個間隔跟著一棵樹，每個間隔都跟著一棵樹，有4個間隔就有4棵樹，因為是兩端都栽，所以還要加上前面的一棵。這樣，植樹的棵數就是5棵。
（ 課件展示：樹與間隔之間的一一對應關係）
師：看來畫線段圖真是解決植樹問題的乙個好辦法，我們以後可以運用線段圖來幫助我們解決很多生活中的數學問題。
師：剛才我們是按照吳老師的要求每隔5公尺種一棵來設計的。如果讓我們自己選擇間隔，你想每隔幾公尺種一棵呢？
（預設：4公尺、2公尺、1公尺、10公尺）。每個小組任選一種間隔長度，可以用小棒擺一擺，也可以用畫線段圖的方法進行研究，看看在兩端都種的情況下有多少個間隔？
能種多少棵樹？把研究結果填在研究表（二）中。
研究表 （二）
學生匯報：
要求：匯報時先說出選的是哪種間隔長度，間隔數是幾，植了幾棵樹？（根據學生的匯報進行板書）
師：你發現間隔數與植樹棵數之間的關係了嗎？你能用乙個式子來表示它們之間的關係嗎？【板書：間隔數+1=植樹棵數】
師：同學們通過用畫線段圖的辦法研究，發現在小資料中兩端都種的情況下，都有「棵數比間隔數多1」的規律。看來，畫線段圖確實能幫助我們清晰地分析數量關係，這是數學上常用的一種好方法。
如果資料增大，這個規律還成立嗎？
生：成立。
師：如果有99個間隔，能種多少棵樹呢？如果種了1000棵樹，你知道有幾個間隔嗎？
10000個間隔，能種多少棵樹呢？如果這條路變得很長很長、無限長，兩端都種還有這樣的規律嗎？ 我們找到間隔數與棵數的關係和規律，就能對之前的猜測做出準確的判斷。
師： 現在我們回過頭來再看看這幾個算式：10÷5=20棵 ②100÷5+2=22棵 ③100÷5+1=21棵。你們現在可以肯定地告訴我，哪個是對的嗎？
生：第三個算式正確。
師：剛才我們通過研究20公尺的一段小路中間隔數與棵數的關係，明白了100公尺中間隔數、棵數的關係，這樣給解題帶來了很大的便利，大家知道嗎？很多數學家在研究問題時也要用到這種方法，這是一種比較重要的數學思想方法——化繁為簡。
（板書：化繁為簡）
【讓學生體會到研究問題可以從簡單入手，化繁為簡，用這樣的方法，可以有效的解決問題，把抽象的數學化歸思想滲透在教學中，讓學生在「潤物細無聲」中體驗到數學思想方法的價值，提高思維的素質。其次，通過畫線段圖，滲透了數形結合的思想；再次通過課件展示，讓學生體會到，不管數字多大，用「一一對應」的方法，最後還要補上一棵才達到兩端都種的結果，潛移默化地滲透「極限」的思想。】
3.運用規律，解決問題
師：很好，能掌握一定的方法去尋找規律，這將是你在數學學習上的重大收穫！現在我們就用剛剛學的新知識解決生活中的實際問題。
（1） 一根木頭長8公尺，每2公尺鋸一段。一共要鋸幾次？
（2) 吳老師登一座古塔，每層有11個台階，從一層開始一共走了55個台階，吳老師到了第幾層？
（3）公共汽車行駛路線全長9千公尺，從起點站到終點站共有10個站，相鄰兩站的距離約是多少千公尺？
（4） 在全長2千公尺的街道兩旁安裝路燈（兩端都裝），每隔50公尺安裝一座。一共安裝了多少座路燈？
（5）園林工人沿公路一側植樹，每隔6公尺種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最後一棵的距離有多遠？
（6）廣場上的大鐘5時敲響5下，8秒敲完。12時敲響12下，需要多長時間？
【讓學生深切地認識到路燈排列、鋸木頭、爬樓梯等生活現象都與「植樹問題」有著相同的數學結構，通過不同層次的練習，培養學生靈活運用規律解決問題的能力，也給這種數學思想以充分的建模。】
【教學反思】
本節課我教學了課本117頁例1內容，主要教學兩端都栽的植樹問題。反思本課教學過程，我覺得以下方面做得比較成功：
1.重視數學模型的建立過程
學習數學的目的是為了應用數學，在應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步。我在教學中設計了「形成猜想—化繁為簡—合作交流—發現規律—梳理方法—應用規律」的教學流程，意在讓學生經歷「猜想—驗證—建立數學模型—應用」這一過程，從而建立「植樹問題」數學模型。為了讓學生理解這一建模的意義，我做了三個方面的工作：
一是加強歸類，出示生活例項，告訴學生「這些現象的事物間都存在著間隔，把這類問題統稱為植樹問題」；二是用**的方式來呈現學生所匯報的植樹問題（兩端都種）中的各部份資料，便於學生觀察比較、理解分析，為學生抽象出「總長度÷間隔的長度=間隔數」、「兩端都種：棵數=間隔數+1」等數學模型提供一種直觀的表象，同時滲透一種「列表找規律」的學習方法。三是進行變式練習。
我設計了6道練習題，引導學生進一步體會，現實生活中的許多事件，都含有與植樹問題相同的數量關係，它們都可以利用植樹問題的模型來解決它，從而使學生感悟數學建模的重要意義。通過不同層次的練習，培養學生靈活運用規律解決問題的能力，進一步鞏固「植樹問題」的數學模型。
2.注重數學思想方法的滲透
著名數學家華羅庚說過這樣一句話來形容數形結合思想：「數缺形時少自覺，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔斷分家萬事難」。數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質。
如果說生活經驗是學習的基礎，生生間的合作交流是學習的推動力，那麼借助圖形幫助理解是學生建構知識的乙個拐杖。有了這根拐杖，學生們才能走得更穩、更好。這就將「發現規律」與「運用規律」鏈結起來。
在教學中，我直接例題匯入，引導學生用畫圖方法模擬實際栽樹。由於資料較大，因此在實際畫圖時發生了矛盾，數字太大，全部畫下來太麻煩、太浪費時間了，就此向學生滲透複雜問題簡單化的思想，讓學生選擇短距離的路用畫圖的方式得出結果，讓學生感悟到複雜的問題簡單來想，並以此為主線，舉一反三，貫串整堂課。在讓學生感受了植樹問題的解決策略後，我設計由植樹問題變式的問題，讓學生進一步運用「化歸思想」遷移解決類似植樹問題，在類似問題的解決中應用和感悟植樹問題的思想方法。
植樹問題教學反思
植樹問題 原本是屬於經典的教學內容，新課程教材把它放在了四年級下冊的 數學廣角 中，讓所有的學生學習，說明這一教學內容本身具有很高的數學思維和很深的 空間。從學生的思維特點看，四年級學生仍以形象思維為主，但抽象邏輯思維能力也有了初步的發展，具備了一定的分析綜合 抽象概況 歸類梳理的數學活動經驗。教學...
《植樹問題》教學反思
植樹問題 原本屬於經典的奧數教學內容，是一種情況較為複雜的問題，但在生活中有許多類似的原型，新課程教材把它安排在四年級下冊的 數學廣角 中。其教學側重點是 在解決植樹問題的過程中，向學生滲透一種在數學學習上 研究問題上都很重要的數學思想方法 化歸思想，借助內容的教學發展學生的思維，提高學生解決問題的...
植樹問題教學反思
在本節課的教學中，我根據教學內容的特點和學生的實際情況，安排了幾次動手操作，引導學生積極參與，使學生在多種形式的教學活動中，加深對植樹問題棵數與段數之間的關係的認識與理解。1 關注學習起點。學生是數學學習的主人，教師作為學生學習的組織者，引導者與合作者，應及時關注學生學習的起點。在教學中，我選取生活...