精品題庫試題 理數
1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題「設a,b為實數,則方程x3+ax+b=0至少有乙個實根」時,要做的假設是( )
a.方程x3+ax+b=0沒有實根
b.方程x3+ax+b=0至多有乙個實根
c.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根
d.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根
[答案] 1.a
[解析] 1.因為「方程x3+ax+b=0至少有乙個實根」等價於「方程x3+ax+b=0的實根的個數大於或等於1」,因此,要做的假設是方程x3+ax+b=0沒有實根.
2.(2014北京,8,5分)學生的語文、數學成績均被評定為三個等級,依次為「優秀」「合格」「不合格」.若學生甲的語文、數學成績都不低於學生乙,且其中至少有一門成績高於乙,則稱「學生甲比學生乙成績好」.
如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好,並且不存在語文成績相同、數學成績也相同的兩位學生,那麼這組學生最多有( )
a.2人b.3人c.4人d.5人
[答案] 2.b
[解析] 2.設學生人數為n,因為成績評定只有「優秀」「合格」「不合格」三種情況,所以當n≥4時,語文成績至少有兩人相同,若此兩人數學成績也相同,與「任意兩人成績不全相同」矛盾;若此兩人數學成績不同,則此兩人有一人比另一人成績好,也不滿足條件.因此:
n<4,即n≤3.當n=3時,評定結果分別為「優秀,不合格」「合格,合格」「不合格,優秀」,符合題意,故n=3,選b.
3. （2014廣東汕頭普通高考模擬考試試題，8）設）為平面直角座標系上的兩點，其中. 令, , 若, 且，則稱點b為點a的「相關點」 ，記作：
, 已知）為平面上乙個定點，平面上點列滿足：=，且點的座標為，其中, 則點的相關點」 有（ ）個
a. 4 b. 6 c. 8 d. 10
[答案] 3.c
[解析] 3. 因為為非零整數）故或，所以點的相關點有8個.
4.(2014陝西,15(b),5分)b.(幾何證明選做題)如圖,△abc中,bc=6,以bc為直徑的半圓分別交ab,ac於點e,f,若ac=2ae,則ef
[答案] 4.3
[解析] 4.∵四邊形bcfe內接於圓,∴∠aef=∠acb,
又∠a為公共角,∴△aef∽△acb,∴=,
又∵bc=6,ac=2ae.
∴ef=3.
5. (2014陝西,14,5分)觀察分析下表中的資料:
猜想一般凸多面體中f,v,e所滿足的等式是
[答案] 5.f+v-e=2
[解析] 5.觀察表中資料,並計算f+v分別為11,12,14,又其對應e分別為9,10,12,容易觀察並猜想f+v-e=2.
6.(2014課表全國ⅰ，14，5分)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過a,b,c三個城市時,
甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過b城市;
乙說:我沒去過c城市;
丙說:我們三人去過同一城市.
由此可判斷乙去過的城市為________.
[答案] 6.a
[解析] 6.由於甲、乙、丙三人去過同一城市,而甲沒有去過b城市,乙沒有去過c城市,因此三人去過同一城市應為a,而甲去過的城市比乙多,但沒去過b城市,所以甲去過的城市數應為2,乙去過的城市應為a.
7. (2014福州高中畢業班質量檢測, 15) 已知函式 , 若數列滿足, 且的前項和為, = .
[答案] 7. 8042
[解析] 7. 依題意，，，
，，，，，，…
所以，，
猜想，所以.
8. (2014湖北黃岡高三4月模擬考試，14) 義大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一組數：1,1, 2,3, 5,8, 13，其中從第三個數起，每乙個數都等於它前面兩個數的和，該書咧是乙個非常美麗和諧的數列.
有很多奇妙的屬性. 比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近**分割0.
6180339887…，人們稱該數列為「斐波那契數列」. 若把該數列的每一項除以4所得的餘數按相對應的順序組成新數列，在數列中第2014項的值為 ；數列中，第2014個值為1的項的序號是 .
[答案] 8. 3 4027
[解析] 8. 因為是週期為6的週期數列，前6項為：1，1，2，3，1，0，
所以第2014=6×335+4項的值是3；因為每個週期內含有三個1，2014=3×671+1，
所以第2014個值為1的項的序號是6×671+1=4027.
9. (2014黑龍江哈爾濱第三中學第一次高考模擬考試，13) 已知，由不等式，
, ，歸納得到推廣結論：，則實數________.
[答案] 9.
[解析] 9. 又已知不等式得到的推廣結論，
得當時；當時；當時；…；由歸納推理可知，.
10.（2014江西紅色六校高三第二次聯考理數試題，13）對任意正整數，定義的雙階乘如下：
當為偶數時，；當為奇數時，`。現有四個命題：①；②；③個位數為0； ④個位數為5。其中正確命題的序號有
[答案] 10. ①③④
[解析] 10. 由定義可知，，所以，故①正確，②錯誤；，所以其個位數為0，故③正確；，為奇數，因為任何奇數乘以5，各位都為5，所以的個位數為5，故④正確.
11.（2014江西紅色六校高三第二次聯考理數試題，11）觀察下列不等式：①；②；③；…則第個不等式為 ．
[答案] 11.
[解析] 11. 觀察可得不等式左邊的分母被開方數滿足6－2、12－6成等差數列，不等式右邊1,2, 3也成等差數列，所以第5個不等式為.
12.(2014湖北武漢高三2月調研測試，13) 如下圖①②③④所示，它們都是由小正方形組成的圖案．現按同樣的排列規則進行排列，記第n個圖形包含的小正方形個數為f(n) ，則
（ⅰ）f(5) ＝ ；
（ⅱ）f(n) ＝ ．
[答案] 12. （1）41；（2）2n2－2n＋1
[解析] 12. （1）
（2）＝
13. (2014廣東,19,14分)設數列的前n項和為sn,滿足sn=2nan+1-3n2-4n,n∈n*,且s3=15.
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)求數列的通項公式.
[答案] 13.檢視解析
[解析] 13.(1)依題有
解得a1=3,a2=5,a3=7.
(2)∵sn=2nan+1-3n2-4n,①
∴當n≥2時,sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).②
①-②並整理得an+1=.
由(1)猜想an=2n+1,下面用數學歸納法證明.
當n=1時,a1=2+1=3,命題成立;
假設當n=k時,ak=2k+1命題成立.
則當n=k+1時,ak+1=
==2k+3=2(k+1)+1,
即當n=k+1時,結論成立.
綜上,n∈n*,an=2n+1.
14. (2014陝西,21,14分)設函式f(x)=ln(1+x),g(x)=xf '(x),x≥0,其中f '(x)是f(x)的導函式.
(ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈n+,求gn(x)的表示式;
(ⅱ)若f(x)≥ag(x)恆成立,求實數a的取值範圍;
(ⅲ)設n∈n+,比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小,並加以證明.
[答案] 14.檢視解析
[解析] 14.由題設得,g(x)=(x≥0).
(ⅰ)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,
g3(x)=,…,可得gn(x)=.
下面用數學歸納法證明.
①當n=1時,g1(x)=,結論成立.
②假設n=k時結論成立,即gk(x)=.
那麼,當n=k+1時,
gk+1(x)=g(gk(x))===,
即結論成立.
由①②可知,結論對n∈n+成立.
(ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恆成立,即ln(1+x)≥恆成立.
設φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),
即φ'(x)=-=,
當a≤1時,φ'(x)≥0(僅當x=0,a=1時等號成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上單調遞增,又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恆成立,
∴a≤1時,ln(1+x)≥恆成立(僅當x=0時等號成立).
當a>1時,對x∈(0,a-1]有φ'(x)<0,∴φ(x)在(0,a-1]上單調遞減,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1時,存在x>0,使φ(x)<0,故知ln(1+x)≥不恆成立,
綜上可知,a的取值範圍是(-∞,1].
(ⅲ)由題設知g(1)+g(2)+…+g(n)=++…+,
n-f(n)=n-ln(n+1),
比較結果為g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1).
證明如下:
證法一:上述不等式等價於++…+在(ⅱ)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.
令x=,n∈n+,則下面用數學歸納法證明.
①當n=1時,②假設當n=k時結論成立,即++…+那麼,當n=k+1時,
++…++即結論成立.
由①②可知,結論對n∈n+成立.
證法二:上述不等式等價於++…+在(ⅱ)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.
令x=,n∈n+,則ln>.
故有ln 2-ln 1>,
ln 3-ln 2>,
……ln(n+1)-ln n>,
上述各式相加可得ln(n+1)>++…+.
結論得證.
證法三:如圖,dx是由曲線y=,x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積,而++…+是圖中所示各矩形的面積和
∴++…+>dx=dx=n-ln(n+1),
結論得證.
15.(2014安徽,21,13分)設實數c>0,整數p>1,n∈n*.
(ⅰ)證明:當x>-1且x≠0時,(1+x)p>1+px;
(ⅱ)數列滿足a1>,an+1=an+.證明:an>an+1>.
[答案] 15.檢視解析
[解析] 15.(ⅰ)證明:用數學歸納法證明:
①當p=2時,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.
②假設p=k(k≥2,k∈n*)時,不等式(1+x)k>1+kx成立.
當p=k+1時,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.
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