二次函式是最簡單的非線性函式之一，而且有著豐富的內容，它對近代數仍至現代數學影響深遠，這部分內容為歷年來高考數學考試的一項重點考查內容，經久不衰，以它為核心內容的高考試題，形式上也年年有變化，此類試題常常有絕對值，充分運用絕對值不等式及二次函式、二次方程、二次不等式的聯絡，往往採用直接法，利用絕對值不等式的性質進行適當放縮，常用數形結合，分類討論等數學思想，以下舉例說明。
1．設，當時，總有，求證當時，.
證明：由於是二次函式，在上最大值只能是，或，故只要證明；當時，有，由題意有.
由得. .
. 當時，
. 因此當時，.
點評：從函式性質的角度分析，要證時，，只要證當時，的最大值滿足. 而又是二次函式，不論、、怎麼取值在上的最大值只能是，或，因而只要證明，，這裡需要特別指出的是要將與建立聯絡，將二次函式中的係數用、、表示：
，然後用含有絕對值不等式的性質，進行適當放縮。
2．已知是實數，函式，當時，，
（1）證明：；
（2）證明：當時，；
（3）設，當時，的最大值為2，求. （2023年全國高考題）
證明：（1）依題設得，而所以.
（2）證法：當時，在上是增函式。
則時，有，又,
，，因此得.
當時，在上是減函式，則當時，. 又,
，，因此得.
當時，,
綜上可知，當時，都有.
（3）依題意，故在上是增函式，又在上的最大值為2，故；，.
。當時，，即函式在區間的內點上取得最小值為，所以，是二次函式且它的影象是對稱軸是直線，由此得，即.
，故.點評：本題運用了賦值法，函式的單調性、二次函式的最小值，含有絕對值不等式的性質等，問題（1）的設定意在降低難度，容易上手，抓住這2分，問題（3）的意義是證明問題（2）中的結論不能改進，從而是精確的，這樣（2）、（3）合在一起構成問題的完整解答。本題的設計背景是：
對於二次函式和一次函式，給定條件「當時，」，則有結論「當時，」. 更一般地，對於多項式函式和，給定件「當時，」，則有結論「當時，」.
高中理科數學解題方法篇二次絕對值不等式
與二次函式有關的含有絕對值不等式的證明問題 二次函式是最簡單的非線性函式之一，而且有著豐富的內容，它對近代數仍至現代數學影響深遠，這部分內容為歷年來高考數學考試的一項重點考查內容，經久不衰，以它為核心內容的高考試題，形式上也年年有變化，此類試題常常有絕對值，充分運用絕對值不等式及二次函式 二次方程 ...
有關不等式組和含絕對值不等式教學的建議
作者 劉奇峰 新課程學習 下 2014年第08期 摘要 對於一元一次不等式的解法可與一元一次方程的解法進行比較教學，比較它們之間的區別與聯絡，加深學生的印象即可，著重給出了一元一次不等式組 含有絕對值的不等式解法的幾點教學建議。關鍵詞 不等式組 含絕對值不等式 解法 一 關於一元一次不等式組及其解法...
新題庫 第六章第06節 含有絕對值的不等式
含有絕對值的不等式 題型1 含絕對值不等式的證明 1 已知 x a 0 yb b y 0,m 求證 xy ab 證 xy ab ay ya ay ab y x a a y b y x a a y b 2 已知f x x2 x 13，且 x a 1.求證 f x f a 證 x a 1,f x f a...