命題與證明
一、選擇題
1、（2023年上海黃浦二模）下列命題中，假命題是（ ）
．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
．一組鄰邊相等的矩形是正方形；
．一組對邊相等且有乙個角是直角的四邊形是矩形；
．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.
答案：2、(2012溫州市泰順九校模擬)下列命題，正確的是( )
a.如果｜a｜=｜b｜，那麼a=b
b.等腰梯形的對角線互相垂直
c.順次鏈結四邊形各邊中點所得到的四邊形是平行四邊形
d.相等的圓周角所對的弧相等
答案：c
3（2023年中考數學新編及改編題試卷）下列語句中，屬於命題的是（ ）
(a) 作線段的垂直平分線 (b) 等角的補角相等嗎
(c) 平行四邊形是軸對稱圖形 (d) 用三條線段去拼成乙個三角形
答案：c
4、（2023年上海市黃浦二模）下列命題中，假命題是( ▲ )
a．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
b．一組鄰邊相等的矩形是正方形；
c．一組對邊相等且有乙個角是直角的四邊形是矩形；
d．一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形是梯形.
答案：c
5、（2023年上海金山區中考模擬）在下列命題中，真命題是a）兩條對角線相等的四邊形是矩形
（b）兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
（c）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（d）兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
答案：c
二、填空題
1、三、解答題
1．（2023年江蘇海安縣質量與反饋） 已知：如圖，在△abc中，bc=ac，以bc為直徑的⊙o與邊ab相交於點d，de⊥ac，垂足為點e．
⑴求證：點d是ab的中點；
⑵證明de是⊙o的切線．
答案：22．（1）略;（2）略．
2. （2023年江蘇通州興仁中學一模）如圖，在□abcd中，e為bc的中點，連線de．延長de交ab的延長線於點f．求證：ab=bf．
答案：由□abcd得ab∥cd，
∴∠cdf=∠f，∠cbf=∠c．
又∵e為bc的中點，
∴△dec≌△feb．
∴dc=fb．
由□abcd得ab=cd，
∵dc=fb，ab=cd，
∴ab=bf．
3、（鹽城地區2011～2012學年度適應性訓練）（本題滿分10分）如圖，ab是⊙o的直徑，點a、c、d在⊙o上，
過d作pf∥ac交⊙o於f、交ab於e，且∠bpf=∠adc.
（1）判斷直線bp和⊙o的位置關係，並說明你的理由；
（2）當⊙o的半徑為，ac=2，be=1時，求bp的長.
(1)直線bp和⊙o相切1分
理由：連線bc,∵ab是⊙o直徑,∴∠acb=90°. ……2分
∵pf∥ac,∴bc⊥pf, 則∠pbh+∠bpf=903分
∵∠bpf=∠adc,∠adc=∠abc,得ab⊥bp4分
所以直線bp和⊙o相切5分
(2)由已知，得∠acb=90°,∵ac=2,ab=2,∴bc=4. ……6分
∵∠bpf=∠adc,∠adc=∠abc,∴∠bpf=∠abc,
由(1),得∠abp=∠acb=90°,∴△acb∽△ebp8分
∴=,解得bp=2.即bp的長為210分
4. （鹽城市第一初級中學2011～2012學年期中考試）（本題滿分10分）如圖，在△abc中，∠b=60°，⊙o是△abc外接圓，過點a作⊙o的切線，交co的延長線於p點，cp交⊙o於d；
（1）求證：ap=ac；
（2）若ac=3，求pc的長．
答案（1）證明過程略5分）
（2）5(徐州市2023年模擬)（6分）如圖，在平行四邊形abcd中，為上兩點，且，．
求證：（1）；
（2）四邊形是矩形．
答案：解：（1），
，，． 1分
四邊形是平行四邊形，
． 2分
在和中，
，，，． 3分
（2）解法一：，
． 4分
四邊形是平行四邊形，．．
． 5分
四邊形是矩形． 6分
解法二：連線．，．
． 4分
在和中，
，，，．
． 5分
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形． 6分
6. （鹽城地區2011～2012學年度適應性訓練）（本題滿分12分）如圖,△aef中,∠eaf=45°,ag⊥ef於點g,現將△aeg沿ae摺疊得到△aeb,將△afg沿af摺疊得到△afd,延長be和df相交於點c．
(1)求證：四邊形abcd是正方形；
(2)連線bd分別交ae、af於點m、n，將△abm繞點a逆時針旋轉，使ab與ad重合，得到△adh，試判斷線段mn、nd、dh之間的數量關係，並說明理由．
(3)若eg=4，gf=6，bm=3，求ag、mn的長．
(1)由∠bad=∠abc=∠adc=90°,得矩形abcd, ……2分
由ab=ad，得四邊形abcd是正方形3分
(2)mn2=nd2+dh24分
理由：連線nh，由△abm≌△adh，得am=ah，bm=dh，
∠adh=∠abd=45°, ∴∠ndh=906分
再證△amn≌△ahn，得mn=nh7分
∴mn2=nd2+dh28分
(3)設ag=x，則ec=x-4,cf=x-6,
由rt△ecf，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(捨去) ∴ag=12.……10分
由ag=ab=ad=12,得bd=12,∴md=9,
設nh=y,由rt△nhd,得y2=(9-y)2+(3)2,y=5,即mn=5. ……12分
7. （鹽城地區2011～2012學年度適應性訓練）(本題滿分8分)如圖，已知e、f分別是□abcd的邊bc、ad上的點，且be=df．
(1) 求證：四邊形aecf是平行四邊形；
(2) 若bc=10，∠bac=90°，且四邊形aecf是菱形，求be的長．
證：（1）由□abcd ，得ad=bc,ad∥bc2分
由be=df,得af=ce, ∴af=ce,af∥ce. ……3分
∴四邊形aecf是平行四邊形4分
（2）由菱形aecf,得ae=ec，∴∠eac=∠ace. ……5分
由∠bac=90°，得∠bae=∠b，∴ae=eb. ……7分
∴be=ae=ec， be=58分
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