命題與證明
一、選擇題
1.下列說法正確的是
a.真命題的逆命題是真命題b.原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題
c.定理一定有逆定理d.命題一定有逆命題
【答案】d
【解析】 ：a、真命題的逆命題可能是真命題，也可能是假命題，故a不符合題意；
b、原命題是假命題，則它的逆命題可能是假命題，也可能是真命題，故b不符合題意；
c、逆定理一定是真命題，定理不一定有逆定理，故c不符合題意；
d、任意乙個命題都有逆命題；故d符合題意；
故答案為：d
【分析】根據把乙個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，用邏輯方法判斷為正確的命題叫定理，任何命題都有逆命題，對各選項逐一判斷即可。
2.下列命題為真命題的是
a.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
b.相似三角形面積之比等於相似比
c.對角線互相垂直的四邊形是菱形
d.順次鏈結矩形各邊的中點所得的四邊形是正方形
【答案】a
【解析】 ：a.根據平行線分線段成比例定理即可判斷正確，a符合題意；
b.相似三角形面積之比等於相似比的平方，故錯誤，b不符合題意；
c.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，c不符合題意；
d.順次鏈結矩形各邊的中點所得的四邊形是正菱形，故錯誤，d不符合題意；
故答案為:a.
【分析】a.根據平行線分線段成比例定理即可判斷對錯；
b.根據相似三角形的性質即可判斷對錯；
c.根據菱形的判定即可判斷對錯；
d.根據矩形的性質和三角形中位線定理即可判斷對錯；
3.用反證法證明時，假設結論「點在圓外」不成立，那麼點與圓的位置關係只能是
a.點在圓內b.點在圓上c.點在圓心上d.點在圓上或圓內
【答案】d
【解析】 ：點與圓的位置關係只有三種：點在圓內、點在圓上、點在圓外，
如果點不在圓外，那麼點就有可能在圓上或圓內
故答案為d
【分析】運用反證法證明，第一步就要假設結論不成立，即結論的反面，要考慮到反面所有的情況。
4.下列語句中，是命題的是（ ）
①若 1=60 ， 2=60 ，則 1= 2；②同位角相等嗎；
③畫線段ab=cd；④乙個數能被2整除，則它也能被4整除；⑤直角都相等
a.①④⑤b.①②④c.①②⑤d.②③④⑤
【答案】a
【解析】 ：①若 ∠ 1=602=60 ，則 ∠ 1= ∠ 2；它是命題；
②同位角相等嗎，不是命題；
③畫線段ab=cd，不是命題；
④乙個數能被2整除，則它也能被4整除，是命題；
⑤直角都相等．是命題；
故事命題的有：①④⑤
故答案為：a
【分析】根據命題是判斷一件事情的語句，構成命題必須有已知條件和結論，逐一判斷即可求解。
5.某屆世界盃的小組比賽規則：四個球隊進行單迴圈比賽（每兩隊賽一場），勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某小組比賽結束後，甲、乙，丙、丁四隊分別獲得第一，二，三，四名，各隊的總得分恰好是四個連續奇數，則與乙打平的球隊是
a.甲b.甲與丁
c.丙d.丙與丁
【答案】b
【解析】 ：小組賽一共需要比賽場，
由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，
當甲是9分時，乙、丙、丁分別是7分、5分、3分，
因為比賽一場最高得分3分，
所以4個隊的總分最多是6×3=18分，
而9+7+5+3>18，故不符合；
當甲是7分時，乙、丙、丁分別是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合題意，
因為每人要參加3場比賽，
所以甲是2勝一平，乙是1勝2平，丁是1平2負，
則甲勝丁1次，勝丙1次，與乙打平1次，
因為丙是3分，所以丙只能是1勝2負，
乙另外一次打平是與丁，
則與乙打平的是甲、丁
故答案是b。
【分析】需要推理出甲、乙、丙、丁四人的分數：每個人都要比賽3場，要是3場全勝得最高9分，根據已知「甲、乙，丙、丁四隊分別獲得第一，二，三，四名」和「各隊的總得分恰好是四個連續奇數」，可推理出四人的分數各是多少，再根據勝、平、負一場的分數去討論打平的場數。
6.甲、乙、丙、丁4人進行桌球單迴圈比賽（每兩個人都要比賽一場），結果甲勝了丁，並且甲、乙、丙勝的場數相同，則丁勝的場數是
a.3b.2c.1d.0
【答案】d
【解析】 ：四個人共有6場比賽，由於甲、乙、丙三人勝的場數相同，
所以只有兩種可能性：甲勝1場或甲勝2場；
若甲只勝一場，這時乙、丙各勝一場，說明丁勝三場，這與甲勝丁矛盾，
所以甲只能是勝兩場，
即：甲、乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，也就是勝0場．
答：甲、乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，丁勝0場．
故答案為：d．
【分析】分類討論：甲、乙、丙、丁4人進行桌球單迴圈比賽，故四個人共有6場比賽，由於甲、乙、丙三人勝的場數相同，所以只有兩種可能性：①若甲只勝一場，這時乙、丙各勝一場，說明丁勝三場，這與甲勝丁矛盾；②甲勝兩場，則乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，也就是勝0場．綜上所述即可得出答案。
7.否定「自然數a、b、c中恰有乙個偶數」時的正確反設為
都是奇數或都是奇數或至少有兩個偶數
都是偶數中至少有兩個偶數
【答案】b
【解析】 a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數；②有兩個奇數，乙個偶數；③有乙個奇數，兩個偶數；④三個偶數．因為要否定②，所以假設應為「全是奇數或至少有兩個偶數」．故答案為：b.
【分析】因為a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數；②有兩個奇數，乙個偶數；③有乙個奇數，兩個偶數；④三個偶數。根據命題的否定形式可知「自然數a、b、c中恰有乙個偶數」時的正確反設為「a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數」。
8.對於命題「已知：a∥b，b∥c，求證：a∥c」．如果用反證法，應先假設
不平行不平行不平行c
【答案】d
【解析】 ：對於命題「已知：a∥b，b∥c，求證：a∥c」．如果用反證法
應先假設a不平行c
故答案為：d
【分析】根據反證法的第一步就是假設結論的反面，即可得出答案。
9.下列命題是真命題的是
a.如果a+b=0，那麼a=b=0b.的平方根是±4
c.有公共頂點的兩個角是對頂角d.等腰三角形兩底角相等
【答案】d
【解析】 a、如果a+b=0，那麼a=b=0，或a=﹣b，錯誤，為假命題；
b、 =4的平方根是±2，錯誤，為假命題；
c、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角，錯誤，為假命題；
d、等腰三角形兩底角相等，正確，為真命題；
故答案為：d．
【分析】a根據等式的性質判斷；b根據算術平方根和平方根判斷；c根據對頂角的定義判斷；d根據等腰三角形的性質判斷.
10.有下列命題：
①若x2=x，則x=1；②若a2=b2 ， 則a=b；③線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；④相等的弧所對的圓周角相等；其中原命題與逆命題都是真命題的個數是
a.1個b.2個c.3個d.4個
【答案】b
【解析】 ：若x2=x，則x=1或x=0，所以①錯誤；
若a2=b2 ， 則a=±b，所以②錯誤；
線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以③正確；
相等的弧所對的圓周角相等，所以④正確．四個命題的逆命題都是真命題．
故答案為：b．
【分析】（1）根據一元二次方程的根的判別式大於0，方程有兩個不相等的實數根可知，方程漏掉了乙個根；
（2）根據平方根的意義可得a=±b；
（3）線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；線段的垂直平分線的判定：到線段兩端點距離相等的點在這個角的平分線上；
（4）根據圓周角定理和圓周角和弧之間的關係可知：相等的弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。
11.下列命題是假命題的是
a.對頂角相等b.兩直線平行，同旁內角相等
c.平行於同一條直線的兩直線平行d.同位角相等，兩直線平行
【答案】b
【解析】 ：a．對頂角相等是真命題，故本選項正確，a不符合題意；
b．兩直線平行，同旁內角互補，故本選項錯誤，b符合題意；
c．平行於同一條直線的兩條直線平行是真命題，故本選項正確，c不符合題意；
d．同位角相等，兩直線平行是真命題，故本選項正確，d不符合題意．
故答案為：b．
【分析】本題是讓選假命題，也就是在題設的條件下得到錯誤的結論. 兩直線平行同旁內角互補而不是相等.
12.下列語句中，不是命題的是
a.生活在水裡的動物是魚
b.若直線a∥b，b ∥c，則a∥c
c.作已知線段的垂直平分線
d.對頂角相等
【答案】a
【解析】 ：根據命題的定義判斷：
a、是判斷一件事情的句子，a不符合題意；
b、是判斷一件事情的句子，b不符合題意；
c、是作圖語句，c符合題意；
d、是判斷一件事情的句子，d不符合題意。
故答案為：c。
【分析】命題：一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題。命題分真命題和假命題。
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