第一章培優訓練
1．在△abc中，∠bac=130°，若pm、qn分別垂直平分ab和ac，那麼∠paq= 度．
2．在等腰三角形abc中，ab=ac=5，bc=6，d是bc上一點，作de⊥ab，df⊥ac，則de+df
3．如圖，一張直角三角形的紙片，象圖中那樣摺疊，使a與b重合，∠b=30°，ac=，則摺痕de等於
4．如圖，△abc≌△ade，bc的延長線交de於f，∠b=∠d=25°，∠acb=∠e=105°
∠dac=10°則∠dfb
(3題圖4題圖)
5.如圖所示，在△abc中，ab=ac，∠bac=1200，d、f分別為ab、ac的中點，，e、g在bc上，bc=15cm，求eg的長度
6、如圖，∠aob是一鋼架，且∠aob=10°，為了使鋼架更加牢固，需在其內部新增一些鋼管ef、fg、gh……
新增的鋼管長度都與oe相等，則最多能新增這樣的鋼管根。
7．兩個三角形如果具有下列條件：
①三邊對應相等；②兩邊和其中一邊上的中線對應相等；③兩邊和第三邊上的高對應相等；④三個角對應相等；⑤兩邊和乙個角對應相等；其中一定全等的有個
a．2b ．3c ．4d．5
8．在數學活動課上，小明提出乙個問題：「如圖，在四邊形abcd中，∠b=∠c=90°，m是bc的中點，dm平分∠adc，∠cmd=35°，則∠mab是多少度？」大家經過了一翻熱烈的討論交流之後，小雨第乙個得出了正確結論，你知道他說的是( )
a．20° b．35° c．55° d．70°
9．從邊長為1的等邊三角形內一點分別向三邊作垂線，三條垂線段長的和為( )
a． bcd．
10．如圖，在等邊三角形abc的三邊上有三點d、e、f，且△def 也是等邊三角形，其中bd=3，cf=1，則△abc的高等於( )
a．3 b． 2 c． d．4
11．在四邊形abcd中，ac平分∠bad，過c作ce⊥ab於e，且ae＝（ab＋ad），求∠abc＋∠adc的度數．
（11題圖）
12. 如圖1、圖2，△aob，△cod均是等腰直角三角形，∠aob＝∠cod＝90，
（1）在圖1中，ac與bd相等嗎？請說明理由（4分）
（2）若△cod繞點o順時針旋轉一定角度後，到達力2的位置，請問ac與bd還相等嗎？為什麼？（8分）
13.在⊿abc中，點o是ac邊上一動點，過點o作直線mn∥bc，與
∠acb的角平分線交於點e，與∠acb的外角平分線交於點f，求證：oe=of
14.如圖2-5所示．在等邊三角形abc中，ae=cd，ad，be交於p點，bq⊥ad於q．求證：bp=2pq．
15．如圖，在△abc中，ad是高，ce是中線，dc=be，dg⊥ce於g．
求證：①g是ce的中點．②∠b=2∠bce．
（15題圖）
16.如圖，美伊戰爭中，特種兵在c處發現e，f處各有一股伊軍，電傳a，b兩處的美軍，此時，△abc為等邊三角形，f，e點恰好在ba，bc的延長線上，由於伊軍分布情況，a股美軍抵f後分化一部分向ce中點d行軍，經測量，af=be,試判斷fd能為f到ce的最近距離嗎？並說明理由。
（15分）
fab c d e
圖1617.在中，ab=ac，ab的垂直平分線交ab於點n，
交bc的延長線於點m，若.
（1）求的度數；
（2）如果將（1）中的度數改為，其餘條件不變，再求
的度數；
（3）你發現有什麼樣的規律性，試證明之；
（4）若將（1）中的改為鈍角，你對這個規律性的認識是否需要加以修改？
18、閱讀下面的題目及分析過程，並按要求進行證明．
已知：如圖，e是bc的中點，點a在de上，且∠bae=∠cde．
求證：ab=cd
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同乙個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證ab=cd，必須新增適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．
現給出如下三種新增輔助線的方法提示，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．
19、如圖，已知：等邊△abc和點p，設點p到△abc三邊ab、ac、bc的距離分別為h1、h2 、h3，則△abc高為h。
（1）若點p在一邊bc上如圖（1），請問h1、h2、h3、h之間有何關係？
（2）若點p在△abc內如圖（2），上述結論是否還成立？若成立，請給予證明，若不成立，h1、h2 、h3 與h之間又有怎樣的關係？
20、已知：三角形abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為bc的中點，
（1）如圖，e，f分別是ab，ac上的點，且be＝af，
求證：△def為等腰直角三角形．
（2）若e，f分別為ab，ca延長線上的點，仍有be＝af，其他條件不變，那麼，△def是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．
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