相似三角形知識點與經典題型
知識點1 有關相似形的概念
(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.
(2)如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多
邊形．相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比(相似係數)．
知識點2 比例線段的相關概念
（1）如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那麼就說這兩條線段的比是，或寫成．注：在求線段比時，線段單位要統一。
（2）在四條線段中，如果的比等於的比，那麼這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．注：比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那麼應得比例式為：． a、d叫比例外項，b、c叫比例內項, a、c叫比例前項，b、d叫比例後項，d叫第四比例項，如果b=c，即那麼b叫做a、d的比例中項， 此時有。
（3）**分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，即，叫做把線段**分割，點叫做線段的**分割點，其中≈0.618．即簡記為：
注：**三角形：頂角是360的等腰三角形。**矩形：寬與長的比等於**數的矩形
知識點3 比例的性質（注意性質立的條件：分母不能為0）
（1） 基本性質：
①；②．
注：由乙個比例式只可化成乙個等積式，而乙個等積式共可化成八個比例式，如，除
了可化為，還可化為，，，，，，．
（2） 更比性質(交換比例的內項或外項)：
（3）反比性質(把比的前項、後項交換)：．
（4）合、分比性質：．
注：實際上，比例的合比性質可擴充套件為：比例式中等號左右兩個比的前項，後項之間
發生同樣和差變化比例仍成立．如：等等．
（5）等比性質：如果，那麼．
注：①此性質的證明運用了「設法」（即引入新的引數k）這樣可以減少未知數的個數，這種方法是有關比例計算變形中一種常用方法．②應用等比性質時，要考慮到分母是否為零．
③可利用分式性質將連等式的每乙個比的前項與後項同時乘以乙個數，再利用等比性質也成立．如：；其中．
知識點4 比例線段的有關定理
1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行於三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例
由de∥bc可得：
注：①重要結論：平行於三角形的一邊,並且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.
②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.那麼這條直線平行於三角形的第三邊.
此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.
③平行線的應用：在證明有關比例線段時，輔助線往往做平行線,但應遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.
2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例.
已知ad∥be∥cf,
可得等.
注：平行線分線段成比例定理的推論：
平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那麼在另一條上截得的線段也相等。
知識點5 相似三角形的概念
對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號「∽」表示，讀作「相似於」 ．相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似係數)．相似三角形對應角相等，對應邊成比例．
注：①對應性：即兩個三角形相似時，一定要把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊． ②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．
③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區別在於全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例．
知識點6 三角形相似的等價關係與三角形相似的判定定理的預備定理
(1)相似三角形的等價關係：
①反身性：對於任一有∽．
②對稱性：若∽，則∽．
③傳遞性：若∽，且∽，則∽
(2) 三角形相似的判定定理的預備定理：平行於三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似．
定理的基本圖形：
用數學語言表述是：， ∴∽．
知識點7 三角形相似的判定方法
1、定義法：三個對應角相等，三條對應邊成比例的兩個三角形相似．
2、平行法：平行於三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角
形與原三角形相似．
3、判定定理1：如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩
個三角形相似．簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似．
4、判定定理2：如果乙個三角形的兩條邊與另乙個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾
角相等，那麼這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似．
5、判定定理3：如果乙個三角形的三條邊與另乙個三角形的三條邊對應成比例，那麼這
兩個三角形相似．簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
(1)以上各種判定均適用．
(2)如果乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另乙個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似．
注：射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。
如圖，rt△abc中，∠bac=90°，ad是斜邊bc上的高，
則ad2=bd·dc，ab2=bd·bc ，ac2=cd·bc 。
知識點8 相似三角形常見的圖形
1、下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：
（1） 如圖：稱為「平行線型」的相似三角形（有「a型」與「x型」圖）
(2) 如圖：其中∠1=∠2，則△ade∽△abc稱為「斜交型」的相似三角形。（有「反a共角型」、
「反a共角共邊型」、 「蝶型」）
（3） 如圖：稱為「垂直型」（有「雙垂直共角型」、「雙垂直共角共邊型（也稱「射影定理型」）」「三垂直型」）
(4)如圖：∠1=∠2，∠b=∠d，則△ade∽△abc，稱為「旋轉型」的相似三角形。
2、幾種基本圖形的具體應用：
（1）若de∥bc（a型和x型）則△ade∽△abc
（2）射影定理若cd為rt△abc斜邊上的高（雙直角圖形）
則rt△abc∽rt△acd∽rt△cbd且ac2=ad·ab，cd2=ad·bd，bc2=bd·ab；
（3）滿足1、ac2=ad·ab，2、∠acd=∠b，3、∠acb=∠adc，都可判定△adc∽△acb．
（4）當或ad·ab=ac·ae時，△ade∽△acb．
知識點9：全等與相似的比較：
知識點10 相似三角形的性質
(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例．
(2)相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比．
(3)相似三角形周長的比等於相似比．
(4)相似三角形面積的比等於相似比的平方．
注：相似三角形性質可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等．
知識點11 相似三角形中有關證（解）題規律與輔助線作法
1、證明四條線段成比例的常用方法：
(1)線段成比例的定義
(2)三角形相似的預備定理
(3)利用相似三角形的性質
(4)利用中間比等量代換
(5)利用面積關係
2、證明題常用方法歸納：
（1）總體思路:「等積」變「比例」，「比例」找「相似」
(2)找相似：通過「橫找」「豎看」尋找三角形，即橫向看或縱向尋找的時候一共各有三個不
同的字母，並且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，並且有可能是相似的，
則可證明這兩個三角形相似，然後由相似三角形對應邊成比例即可證的所需的結論.
(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向尋找的時候一共有四個字母或者三個字母，但這
幾個字母在同一條直線上)，則需要進行「轉移」(或「替換」)，常用的「替換」方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.
即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。①②③
(4) 新增輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮新增輔助線(通常是新增平行線)構成
比例.以上步驟可以不斷的重複使用，直到被證結論證出為止.
注：新增輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角座標系中通常是作垂線（即得平行線）構造相似三角形或比例線段。
（5）比例問題：常用處理方法是將「乙份」看著k;對於等比問題，常用處理辦法是設「公比」為k。
（6）．對於複雜的幾何圖形，通常採用將部分需要的圖形（或基本圖形）「分離」出來的辦法處理。
知識點12 相似多邊形的性質
(1)相似多邊形周長比，對應對角線的比都等於相似比．
(2)相似多邊形中對應三角形相似，相似比等於相似多邊形的相似比．
(3)相似多邊形面積比等於相似比的平方．
注意：相似多邊形問題往往要轉化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎和關鍵．
知識點13 位似圖形有關的概念與性質及作法
1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應頂點的連線都交於一點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形.
2. 這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.
注： （1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交於一點.
（2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.
（3） 位似圖形的對應邊互相平行或共線.
3.位似圖形的性質： 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於相似比.
相似三角形知識點梳理
相似三角形知識點大總結 知識點1 有關相似形的概念 1 形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.2 如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形對應邊長度的比叫做相似比 相似係數 知識點2 比例線段的相關概念 1 如果選用同一單位...
相似三角形知識點總結
3 基本圖形 1 其中 1 2，則 ade abc 2 cd ad bd ac ad ab，bc bd ba ab ac bc cd 等面積法 4 相似三角形的應用 a 利用陽光下影子測量物體的高度 b 利用相似測河寬 c 利用標桿測量物體高度 如測旗桿高度 d 利用鏡子的反射測量物體的高度。四 位...
相似三角形經典例題解析
一 如何證明三角形相似 例1 如圖 點g在平行四邊形abcd的邊dc的延長線上,ag交bc bd於點e f，則 agd 例2 已知 abc中，ab ac，a 36 bd是角平分線，求證 abc bcd 例3 已知，如圖，d為 abc內一點鏈結ed ad，以bc為邊在 abc外作 cbe abd，bc...