第三章證明（三）
一、學生知識狀況分析
學生的知識技能基礎：學生在八年級已經借助摺紙、畫圖、測量等活動直觀的探索過平行四邊形、菱形、矩形、正方形等性質和判定，本章教材主要是對這些結論進行理論的證明，而前面的探索過程和方法又為本章證明提供了鋪墊，為學生提供了相應的定理證明思路。本章前幾節課中，學生又學習了「三角形中位線定理」，這些都為**「中點四邊形」做了鋪墊，學生已經具備了**該命題的基本技能；
學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生經歷了「探索—發現—猜想—證明」的過程，並初步體會了獲得猜想後還應予以證明的意義，感受到了合情推理與論證推理的相互依賴和相互補充的辨證關係，並且學生具有了一定的推理證明的能力。同時在以前的數學學習中學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。
二、教學任務分析
教科書基於學生對特殊平行四邊形認識的基礎之上，提出了本課的具體學習任務：理解中點四邊形形狀取決於原四邊形的對角線的位置和數量關係。但這僅僅是這堂課外顯的具體的教學目標，或者說是乙個近期目標。
數學教學由一系列相互聯絡而又漸次梯進的課堂組成，因而具體的課堂教學也應滿足於整個數學教學的遠期目標，或者說，數學教學的遠期目標，應該與具體的課堂教學任務產生實質性聯絡。本課《特殊平行四邊形（3）》內容從屬於「空間與圖形」這一數學學習領域中的「圖形與證明」，因而務必服務於推理與論證教學的遠期目標：「讓學生經歷『探索—發現—猜想—證明』的過程，體會證明的必要性，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想，發展空間觀念」，同時也應力圖在學習中逐步達成學生的有關情感態度目標。
為此，本節課的教學目標是：
①再次經歷「探索—發現—猜想—證明」的過程，發現決定中點四邊形形狀的因素，熟練運用學過的各種特殊四邊形的識別及性質對中點四邊形進行識別，並能對自己的猜測進行證明，進一步發展學生推理論證的能力。
②使學生進一步體會證明的必要性以及計算與證明在解決問題中的作用。
③通過平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、任意四邊形等凸四邊形的中點四邊形的探求過程，以及引申至凹四邊形的中點四邊形的探求過程，引導學生體會證明過程中所運用的由一般到特殊再到一般的歸納思想方法、模擬的思想方法、轉化的思想方法等，培養積極探索、勇於創新的精神，以及推陳出新的創新能力。
④通過師生互動、合作交流以及多**軟體的使用，進一步發展學生合作交流的能力和數學表達能力，並使學生發現數學中蘊涵的美，激發學生學習的自覺性、積極性，提高學習數學的興趣。
三、教學過程分析
本節課設計了六個教學環節：第一環節：問題引入；第二環節：
猜想結論；第三環節：分組**，驗證結論；第四環節：運用鞏固；第五環節：
課堂小結；第六環節：布置作業。
第一環節：問題引入
活動內容：
圖3-6-1圖3-6-2圖3-6-3
問題：1.如圖，在δabc中，ef為δabc的中位線，
①若∠bef=30°，則∠a= .
②若ef=8cm, 則ac= .
2.在ac的下方找一點d,做cd和ad的中點g、h,問ef和gh有怎樣的關係？eh和fg呢？
3.四邊形efgh的形狀有什麼特徵？
活動目的：
通過問題串，複習三角形中位線性質定理，探索新命題「依次連線任意四邊形各邊的中點可以得到乙個平行四邊形」。。
活動的實際效果：
老師在提問時選擇了平時學習數學有困難的學生，由於是前面已經學過的知識，學生們回答得很流暢，這種低起點的問題引入，也增強了學生學習數學的自信心。此外，課件的運用，直觀形象，也分解了難點。
第二環節：猜想結論
活動內容：
問題：如果四邊形abcd變為特殊的四邊形，中點四邊形efgh會有怎樣的變化呢？
活動目的：
在乙個開放的情景中，引導學生體會由一般到特殊的歸納思想方法、模擬的思想方法、轉化的思想方法，同時培養學生的積極探索、勇於創新的精神。
活動的實際效果：
有的學生猜測還是平行四邊形，有的學生猜測是正方形，有的學生猜測是矩形，有的學生猜測是菱形，甚至有的學生猜測是梯形。經過師生的共同**，達成一致的結論：一定是平行四邊形，而非梯形。
於是老師順勢提出問題「會不會是特殊的平行四邊形呢？從結論來探索有一些困難，那麼我們可以換一種角度思考：四邊形abcd可以為哪些特殊的四邊形？
」學生的回答多種多樣，原四邊形可以為平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至還有學生回答為梯形和直角梯形。於是老師請學生選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點四邊形，從而順利進入下一環節。
此環節的設定引發了學生對特殊四邊形的中點四邊形的思考，學生們暢所欲言，互相補充完善，氣氛熱烈，進一步發展了學生合作交流的能力和數學表達能力，同時也是對之前所學的特殊四邊形進行回顧。老師在這一環節中，對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵，再一次增強了學生學習數學的自信心。
第三環節：分組**，驗證結論
活動內容1：
學生以數學小組的形式，在眾多的特殊四邊形（平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中選擇一種自己感興趣的原四邊形來研究中點四邊形，並驗證結論的正確性。
活動目的：
由學生非常熟悉的、常見的特殊四邊形得到結論，為後面的知識形成作好鋪墊，並把學習的主動權讓給學生，目的在於激發學生的學習興趣，使學生真正成為學習的主人；同時讓學生再一次體會由一般到特殊的歸納思想、模擬、轉化的思想方法，進一步提高學生的合作交流和數學表達能力。
活動的實際效果：
學生結合前面學過的各種特殊四邊形的識別與性質、三角形中位線定理等知識，人人參與、積極進行**和交流，通過模擬和轉化共歸納出以下幾種情況。各小組派代表展示自己小組的猜想和驗證，講解中小組之間互相補充、互相競爭，氣氛熱烈,使驗證的過程更加嚴謹。把學習的主動權交給了學生，真正體現了學生的自主性，也激發了學生學習數學的興趣。
圖3-6-4圖3-6-5圖3-6-6圖3-6-7
圖3-6-8圖3-6-9圖3-6-10
得出結論：
平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；
矩形的中點四邊形是菱形；
菱形的中點四邊形是矩形；
正方形的中點四邊形是正方形；
等腰梯形的中點四邊形是菱形；
直角梯形的中點四邊形是平行四邊形；
梯形的中點四邊形是平行四邊形。
在這一環節中，老師走入學生中適時地進行指導，引導學生進行歸納總結，提高學生的概括能力。對學習能力較弱的學生進行個別指導，對學習能力較強的學生鼓勵他們研究第2個甚至更多個圖形，使以上7個圖形的結論能夠順利得出，並對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵。學生們展示完自己的結論後，老師利用幾何畫板進行演示，讓學生們觀察中點四邊形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學們歸納的結論的正確性，給予學生直觀的感受。
活動內容2：
問題：1.矩形和等腰梯形是形狀不同的四邊形，為什麼中點四邊形都由平行四邊形變化為菱形？
2.平行四邊形變化為菱形需要增加什麼條件？
3.你是從什麼角度考慮的？
4.你從哪兒得到的啟發？
5.你能用你的發現解釋其它的圖形變化嗎？例如：原四邊形為菱形，其中點四邊形為矩形？
活動目的：
以問題串的形式引導學生逐步深入思考，前2個問題的設定幫助學生回憶特殊四邊形的性質與判定定理，第3、4個問題幫助學生揭示變化的原因：矩形和等腰梯形的對角線有相同的性質「對角線相等」，而且其它中點四邊形的變換也和原四邊形的對角線有關係。有了前4問的鋪設，第5個問題可以通過模擬的思想解決；同時讓學生體會由一般到特殊再到一般的歸納思想方法，進一步提高學生的數學表達能力。
活動的實際效果：
這一環節緊緊圍繞「中點四邊形」再次提出問題串，是對上一活動的拓展。通過問題串的解答，使學生對決定中點四邊形形狀的因素更加明了。教師引導學生對研究的問題歸納總結。
概括出規律：決定中點四邊形efgh的形狀的主要因素是原四邊形abcd的對角線的長度和位置關係。
（1） 若對角線相等，則中點四邊形efgh為菱形；
（2） 若對角線互相垂直，則中點四邊形efgh為矩形；
（3） 若對角線既相等，又垂直，則中點四邊形efgh為正方形；
（4） 若對角線既不相等，又不垂直，則中點四邊形efgh為平行四邊形。
圖3-6-11圖3-6-12圖3-6-13圖3-6-14
這裡讓學生通過歸納，學會把知識整理成乙個系統，也就是我們常要求的：教學過程貴在讓學生掌握學習的方法，讓學生真正地「會學」，既學法指導。這裡正是滲透了這種思想。
老師再次利用幾何畫板進行演示，讓學生們觀察中點四邊形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學們歸納的結論的正確性，給予學生們直觀的感受。
第四環節：運用鞏固
活動內容1：（圖形發散練習）
利用幾何畫板，拖動a點使四邊形abcd的圖形變化進行研究。
圖3-6-15圖3-6-16圖3-6-17圖3-6-18
活動目的：
用動畫的形式讓同學們觀察四邊形的不斷變化過程中，中點四邊形的變化情況，體會變化中存在的不變的幾何關係：圖中幾何圖形的位置關係處在相互依存的狀態之中，靜態圖形只是動態圖形在變化過程中的某一瞬間，意在培養學生的發散思維能力，提高學生研究數學的興趣和創新意識。
在題目的設定上，採用逐步遞進的策略，其中圖3-6-15是abcd為凸四邊形，圖3-6-16是ab、 ad在同一線段上，圖3-6-17是abcd為凹四邊形，圖3-6-18是abcd為扭曲四邊形。
活動的實際效果：
利用幾何畫板演示，學生們表現出了極大的學習興趣，學生們暢所欲言，互相補充完善，課堂氣氛異常活躍。經過師生共同探索，得到結論：當abcd是上面的圖形時，四邊形efgh仍為平行四邊形。
特別是圖3-6-18，學生理解有困難，老師引導學生轉換思考角度，即四邊形efgh可以看作四邊形adbc的邊ad、bc的中點和對角線ab、cd的中點的四邊形，這樣就解決了問題。老師在這一環節中，對學習能力較弱的學生進行個別指導，對學生的回答給予充分的肯定和鼓勵，再一次增強了學生學習數學的自信心。
平行四邊形及特殊平行四邊形
一 平行四邊形 知識梳理 1 掌握平行四邊形的概念和性質 2 四邊形的不穩定性 3 掌握平行四邊形有關性質和四邊形是平行四邊形的條件 4 能用平行四邊形的相關性質和判定進行簡單的邏輯推理證明 例題精講 例題1.下列命題中錯誤的是 a 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 b 對角線相等的平行四邊形是...
平行四邊形與特殊的平行四邊形
平行四邊形的性質與判定 一 總結平行四邊形的性質與判定原理 問題1 我們學習平行四邊形的性質是從哪幾個方面來研究的？從 邊 角 線 三個方面，其中 線 指的是對角線。問題2 判定乙個四邊形是平行四邊形必須有幾個條件？必須具備兩個條件 注意判定原理5 對角線互相平分 也是兩個等量。二 總結與平行四邊形...
特殊平行四邊形
矩形矩形的性質 判斷矩形的方法 12 3各句判定矩形的說法是否正確？1 對角線相等的四邊形是矩形 2 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 3 有乙個角是直角的四邊形是矩形 4 有三個角都相等的四邊形是矩形 5 有三個角是直角的四邊形是矩形 6 四個角都相等的四邊形是矩形 7 對角線相等，且有乙個角是...