(2)在理論上(x, y)dy]dx是乙個積分，但當函式y = 1 (x), y = 2 (x)的表示式中有乙個是分段表示時，就要按區間段拆成若干個積分來計算. 以下各型別區域遇到這類問題都按此辦法處理.
● y-型區域d的不等式表示形式是:
d=,即d由直線y =c, y= d和曲線x = ψ 1 (y)（左邊界）, x = ψ 2 (y)（右邊界）圍成(圖9-2-2). 在y-型區域d上化成的累次積分是先對x後對y積分的,即
(x, y)dxdy = (x, y)dx]dy;
注意在y型d上的累次積分是後對y積分, 積分號在外層, 上下限皆常數; 先對x積分, 其積分號在內層, 上下限一般為函式(若上下限皆為常數，則d是矩形,若d非矩形則內層積分上下限至少有乙個不為常數).
例1 設二重積分的區域d是由直線x = -2, y = 2x-1 及曲線 y=x2圍成, 被積函式是f (x, y). 試把二重積分化為累次積分(兩種形式都要).
解區域d如圖9-5-１所示. 它顯然是乙個x型的區域, 不難求出曲線y=x2與直線x = -2, y = 2x-2的交點分別為(-2, 4)與(1, 1), d在x軸上的投影為[-2, 1], 下邊界為y = 2x-1,上邊界為y = x2. 所以
d =.
於是二重積分化為如下先對y後對x的累次積分:
(x, y)dxdy = (x, y)dy]dx.
為了把二重積分化為如下先對x後對y的累次積分, 把d分成三個y型區域d1, d2, d3之並(如圖9-5-2), 它們在y軸的投影分別為[-5, 0], [0, 1], [0, 4]. 分別寫出它們的左、右邊界得: d1= (左邊界函式x=2, 右邊界函式由y = 2x-1改寫為x =);
d2= (左邊界函式由y = x2改寫為x =，右邊界函式由y = 2x-1改寫為x=);
d3= (左邊界函式x=2,右邊界函式由y = x2改寫為x = -).
因此(x, y)dxdy
= (x, y)dx]dy+ (x, y)dx]dy+ (x, y)dx]dy.
在這例子中，積分次序選擇不同時，轉化的過程和結果的繁簡程度相差甚大. 一般說來，如果不是由於被積函式的需要，我們是不會選擇轉化過程和結果繁雜的次序的.
2.在極座標系下化成累次積分
適用範圍積分區域的邊界為圓或圓弧, 被積函式呈f(x2+ y2)形式.
這時候可考慮在極座標系下化成累次積分. 把直角座標下表示的函式f (x, y)的積分在極座標系下化成累次積分時, 要做如下變換和改變:
座標變換 x = r cos θ, y = r sin θ, 0θ 2π, 0 r <.
面積元素的變換 dσ =dxdy = r drdθ.
被積函式改寫 f (x, y) = f (r cos θ, r sin θ).
極座標系下的積分區域也有兩種標準型別：θ-型與r-型，其中θ-型常用，而r-型少用.
● θ-型區域d的不等式表示形式是:
d=;即d由同心圓弧r = ρ, r = r和曲線θ = θ 1 (r), θ = θ 2 (r)圍成(圖9-2-4).
在r-型區域d上化成的累次積分是先對θ後對r積分的,即
(x, y)dxdy = ( r cos θ, r sin θ)dθ]dr;
注意,在r型d上的累次積分是後對r積分, 其積分號在外層, 上下限皆常數; 先對θ積分, 其積分號在內層, 上下限一般為函式.
§9.6.2 改變二次積分次序的方法
對於多重積分化為累次積分來計算時,適當選用座標系和積分次序很重要.此外,有些實際問題提煉成積分時直接就以二次積分的形式出現, 但是,按這種次序來積分有困難. 這時若改變積分次序,則有可能使問題迎刃而解.
因此, 改變二次積分次序的方法也是對積分進行化歸的乙個重要方法.
對初學者而言, 改變二次積分次序的難點是對新的累次積分的上下限的確定, 突破難點的關鍵是要會畫出積分區域並改寫出邊界曲線的方程（函式表示式）.
1．把先對y後對x的積分改變次序
（a）先畫出二重積分的區域d：因為原來的累次積分是先對y後對x的，故d是的x型區域；應根據出現在內層積分的下、上限函式寫出下邊界y = 1 (x)和上邊界 y = 2 (x)，並在x軸的[a, b]區間上畫出這兩條邊界曲線，它們與直線x =a, x= b共同圍成d.
（b）若d也是y型區域，則把d直接投影到y軸上，設投影為[c, d], 就可以在[c, d]上把左右邊界分別寫成x = ψ1 (y)（左邊界）, x = ψ 2 (y)（右邊界），於是得到不等式表達形式：
d=.那麼, 先對x後對y的累次積分的上下限已經明確, 可以寫出如下累次積分：
(x, y)dx]dy.
值得注意的是，上述積分當左右邊界函式x = ψ 1 (y), x = ψ 2 (y)的表示式中有乙個是分段表示時，就要按區間段拆成若干個積分之和. 若y型區域的邊界x = ψ(y)同時是x區域的邊界y = (x)，則ψ=-1,也就是說,只要把y = (x)作適當的變形就得到x = ψ (y).
（c）若d不是y型區域，就要把d先分成數個y型子區域，然後分別在每個y型子區域改變積分次序，最後把它們相加起來.
例2 交換二次積分的次序(x, y)dy.
解在x軸的[0, 1]區間上畫出下邊界y = x2和上邊界 y = x. 它們與直線x =0, x= 1共同圍成d. 所以d的圖形是圖9-5-3.
由於這區域也是y型區域，可立即求出d到y軸的投影為[0, 1], 把左右邊界分別寫成x = y（左邊界，由y = x改寫), x = (右邊界，由y = x2改寫)，即
d=.於是得到先對x後對y的累次積分
(x, y)dy = (x, y)dx.
2．把先對x後對y的積分改變次序
（a）先畫出二重積分的區域d：因為原來的累次積分是先對x後對y的，故d是的y型區域；應根據出現在內層積分的下、上限函式寫出左邊界x = ψ 1 (y)和右邊界x = ψ 2 (y)，並在在y軸的[c, d]區間上畫出兩條函式曲線，它們與直線y = c, y= d共同圍成d.
（b）若d也是x型區域，則把d直接投影到x軸上，設這投影為[a, b], 就可以在[a, b]上把兩邊界曲線分別寫成y = 1 (x) (下邊界), y = 2 (x) (上邊界)，於是得到不等式表達形式
d=.據此, 先對y後對x的累次積分的上、下限已經明確，從而得到如下累次積分：
(x, y)dy]dx.
這一積分當下、上邊界函式y = 1 (x), y = 2 (x)的表示式中有乙個是分段表示時，就要按區間段拆成若干個積分來計算. 若y型區域的邊界x = ψ(y)同時是x區域的邊界y = (x)，則ψ=-1,也就是說,只要把x = ψ (y)作適當的變形就得到y = (x).
（c）若d不是x型區域，就要把d先分成數個x型子區域，然後分別在每個x型子區域改變積分次序，最後把它們相加起來.
例3 交換二次積分的次序(x, y)dx.
解在y軸的[0, 2]區間上畫出左邊界x =和右邊界 x = 3-y. 它們與直線y =0, y= 2共同圍成d. 所以d的圖形是圖9-5-4.
這區域由於也是x型區域，求出d到x軸的投影為[0, 3], d的下邊界為y=0 (從圖形看出), 而上邊界需要分段表示（分別由x =和x = 3-y變形得到）, 即
y = 2 (x)=，
於是得到的先對y後對x的累次積分是兩個積分式之和：
(x, y)dx = (x, y)dy+ (x, y)dy.
例4 計算dy.
解顯然，關於y的積分dy不易求出. 注意到積分區域是由直線y = x, y=1, x=1圍成的三角形，若採用例2的辦法改變積分次序，則
dy =dx =dy = (1-e-1).
注 dy 是一概率積分，不是初等函式，也就是說，按原來的次序積不出來. 而經過改變積分次序後，積分竟變得非常容易.
§9.6.3利用對稱性簡化三重積分的計算
計算三重積分的基本方法是化為累次積分,即化成三次積分來計算,常採用直角座標系,也可根據積分區域和被積函式的特點擊用柱座標系、球座標系或廣義球座標系進行計算. 不論採用什麼，若能充分利用對稱性，都可以大大簡化計算. 下面以直角座標系為例說明之.
以下均設f (x, y, z)在有界閉區域v上連續，欲求三重積分i = (x, y, z)dv.
第九章上機應試指導
809.1 考試環境及規則簡介 809.1.1 考試時間 1 網路技術上機考試時間定為60分鐘。考試 時間由上機考試系統自動進行計時，提前5分鐘自 動報警來提醒考生應及時存檔，考試時間用完，上機考試系統將自動鎖定計算機，考生將不能繼 續進行考試。2 當考生登入成功後，系統將自動抽取考題並且 在螢幕上...
第九章注意
考試要求 通過對本章的學習，理解注意的概念 注意的功能和外部表現 掌握注意的分類，容易引起無意注意的條件和有利於保持有意注意的條件 重點把握注意的品質，懂得如何運用注意的規律來組織教學 識記無意注意 有意注意 注意的範圍 注意的穩定性 注意的分配 注意的轉移 興趣 直接興趣 間接興趣 興趣效能 興趣...
第九章控制
典型例題分析 一 單項選擇題 1.能夠有效避免消極後果，降低經濟成本的控制型別是 a.前饋控制 b.現場控制 c.反饋控制 d.全面控制 解析 前饋控制 現場控制 反饋控制三大基本型別是依據控制時間點的不同而劃分的。反饋控制是在消極後果已經造成後實施的，是最為困難的控制。現場控制突出了時效性，發現問...