25.如圖,在菱形abcd中,∠abc=60°,e是對角線ac上任意一點,f是線段bc延長線上一點,且cf=ae,連線be、ef.
(1)如圖1,當e是線段ac的中點,且ab=2時,求△abc的面積;
(2)如圖2,當點e不是線段ac的中點時,求證:be=ef;
(3)如圖3,當點e是線段ac延長線上的任意一點時,(2)中的結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
25.證明:
(1)(2)如圖1:過點e做se平行於ad交ab於s點,
, , ,
(3)如圖2:過點e做eh平行於ad交ab延長線於h點,
, , ,
25.(12分)在菱形abcd和正三角形bgf中,∠abc=60°,p是df的中點,連線pg、pc.
(1)如圖1,當點g在bc邊上時,若ab=10,bf=4,求pg的長;
(2)如圖2,當點f在ab的延長線上時,線段pc、pg有怎樣的數量關係,寫出你的猜想;並給予證明.
(3)如圖3,當點f在cb的延長線上時,(2)問中關係還成立嗎?寫出你的猜想,並給予證明.
25.(1)提示:如圖1:延長gp交dc於點e,
利用△ped≌△pgf,得出pe=pg,de=fg,
∵△bgf是等邊三角形,∴fg=bg,
又∵四邊形abcd是菱形,∴cd=cb,∴ce=cg,
∴cp是eg的中垂線,在rt△cpg中,∠pcg=60°,
∵ab=10,bf=4;∴cg=6
∴pg=3
(2)如圖2,延長gp交da於點e,連線ec,gc,
∵∠abc=60°,△bgf正三角形
∴gf∥bc∥ad,
∴∠edp=∠gfp,
在△dpe和△fpg中
∴△dpe≌△fpg(asa)
∴pe=pg,de=fg=bg,
∵∠cde=∠cbg=60°,cd=cb,
在△cde和△cbg中,
∴△cde≌△cbg(sas)
∴ce=cg,∠dce=∠bcg,
∴∠ecg=∠dcb=120°,
∵pe=pg,
∴cp⊥pg,∠pcg=∠ecg=60°
∴pg=pc.
(3)猜想:pg=pc.
證明:如圖3,延長gp到h,使ph=pg,連線ch,cg,dh,作fe∥dc
∵p是線段df的中點,∴fp=dp,
∵∠gpf=∠hpd,∴△gfp≌△hdp,
∴gf=hd,∠gfp=∠hdp,
∵∠gfp+∠pfe=120°,∠pfe=∠pdc,
∴∠cdh=∠hdp+∠pdc=120°,
∵四邊形abcd是菱形,
∴cd=cb,∠adc=∠abc=60°,點a、b、g又在一條直線上,∴∠gbc=120°,
∵△bfg是等邊三角形,∴gf=gb,∴hd=gb,∴△hdc≌△gbc,
∴ch=cg,∠dch=∠bcg,
∴∠dch+∠hcb=∠bcg+∠hcb=120°,即∠hcg=120°
∵ch=cg,ph=pg,∴pg⊥pc,∠gcp=∠hcp=60°,
∴pg=pc.
五、解答題(本大題2個小題,每小題12分,共24分)解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟,請將解答過程書寫在答卷中對應的位置上.
25.如圖1,在菱形abcd中, abc=60°,若點e在ab的延長線上,ef∥ad,ef=be,點p是de的中點,連線fp並延長交ad於點g.
(1)過d作dhab,垂足為h,若dh=,be=ab,求dg的長;
(2)連線cp,求證:cpfp;
(3)如圖2,在菱形abcd中, abc=60°,若點e在cb的延長線上運動,點f在ab的延長線上運動,且be=bf,連線de,點p為de的中點,連線fp、cp,那麼第(2)問的結論成立嗎?若成立,求出的值;若不成立,請說明理由.
五、解答題
25.(1)解:∵四邊形abcd為菱形
da∥bc cd=cb ∠cdg=∠cba=60°
∴∠dah=∠abc=60°
∵dh⊥ab
∴∠dha=90°
在rt△adh中 sin∠dah=
∴ad=…………1分
∴be=ab=×4=1
∵ef∥ad
∴∠pdg=∠peb
∵p為de的中點
∴pd=pe
∵∠dpg=∠epf
∴△pdg≌△pef…………2分
∴dg=ef
∵ef∥ad ad∥bc
∴ef∥bc
∴∠feb=∠cba=60°
∵be=ef
∴△bef為正三角形…………3分
∴ef=be=1
∴dg=ef=1…………4分
(2)證明:連線cg、cf
由(1)知 △pdg≌△pef
∴pg=pf
在△cdg與△cbf中
易證:∠cdg=∠cbf=60° cd=cb bf=ef=dg
∴△cdg≌△cbf…………6分
∴cg=cf
∵pg=pf
∴cp⊥gf…………8分
(3)如圖:cp⊥gf仍成立
理由如下:過d作ef的平行線,交fp延長於點g
連線cg、cf
證△pef≌△pdg…………8分
∴dg=ef=bf
∵dg∥ef
∴∠gdp=∠efp
∵da∥bc
∴∠adp=∠pec
∴∠gdp-∠adp=∠efp-∠pec
∴∠gda=∠bef=60°
∴∠cdg=∠adc+∠gda=120°
∵∠cbf=180°-∠ebf=120°
∴∠cbf=∠cdg………………………9分
∵cd=bc dg=bf
∴△cdg≌△cbf
∴cg=cf ∠dcg=∠fce
∵pg=pf
∴cp⊥pf10分
∠gcp=∠fcp
∵∠dcp=180-∠abc=120°
∴∠dcg+∠gce=120°
∴∠fce+∠gce=120°
即∠gce=12011分
∴∠fcp=1/2∠gce=60°
在rt△cpf中 tan∠fcp=tan60°==…………12分
(3)法2:如圖3,延長cp交da的延長線於點g,連線cf、gf、ge
先證△cpe≌△gpd………………………9分
得pc=pg
再證△gef≌△cbf………………………10分
得cf=gf
最後用三線合一得cf⊥pf………………………11分
然後證△cgf為正三角形得∠gcf=60°
∴pf:fc=tan6012分
25.已知,四邊形abcd是正方形,點p在直線bc上,點g在直線ad上(p、g不與正方形頂點重合,且在cd的同側),pd=pg,df⊥pg於點h,df交直線ab於點f,將線段pg繞點p逆時針旋轉90°得到線段pe,鏈結ef.
(1)如圖1,當點p與點g分別**段bc與線段ad上時,若pc=1,計算出dg的長;
(2)如圖1,當點p與點g分別**段bc與線段ad上時,證明:四邊形dfep為菱形;
(2)如圖2,當點p與點g分別**段bc與線段ad的延長線上時,(2)的結論:四邊形dfep為菱形是否依然成立,若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由
24. 在正方形abcd中,連線ac,取ac的中點e點,連線de,點f在cd邊上,連線af.
⑴如圖1,若dg是△adf的中線,且dg=5,df=6,求cf的長;
⑵如圖2,若dg是△adf的高,延長dg交ac於點h.點f是cd邊上的中點,連線fh,求證:dh+fh=af;
⑶如圖3,若dg是△adf的高,延長dg交ac於點h .點f是cd邊上的動點,連線eg.當點f在cd邊上(不含端點)運動時,∠egh的大小是否改變,如果不變,請求出∠egh的度數;如果要變,請說明理由.
25.如圖1,在四邊形abcd中.ad∥bc,f在 cd上,且af垂直平分cd,fg平分,
交ad於g,連線gb,交af於n,且fn=fd.
(1)求證:;
(2)如圖l,連線nd,若bc=nd, adc=75°,求證:an=ab;
(3)如圖2,延長af、bc交於點e。過b點作bk⊥ae於k,若,猜想,ab與kf之間有何數量關係?請說明理由.
25、如圖,點為正方形的邊所在直線上的一點,連線,過點作,連線。
(1)如圖1,當點在的延長線上,且時,求證:;
(2)如圖2,當點**段上,且平分時,求證:;
(3)如圖3,當點繼續往右運動到中點時,過點作,連線,求證:。
25.如圖1,abcd中,ae⊥bc於e,ae=ad,eg⊥ab於g,延長ge、dc交於點f,連線af.
(1)若be=2ec,ab =,求ad的長;
(2)求證:eg=bg+fc;
(3)如圖2,若af=,ef=2,點是線段ag上的乙個動點,連線,將沿翻摺得,連線,試求當取得最小值時的長.
25. (1)ad=3
(2)過點g作gh平行bc交cd於點h,因為ad//bc,所以ad//gh//bc,ad=gh,bg=ch,因為∠agf=∠gfc =∠aeb=90°,所以∠bae=∠fgh,所以△age≌△ghf,所以ge=fh=cf+ch,所以eg=bg+fc;
(3)gm=
24.已知平行四邊形abcd中,g為bc中點,點e在ad邊上,且.
25平行四邊形證明題3
25 如圖1,正方形abcd中,點e為ad上任意一點,連線be,以be為邊向be右側作正方形befg,ef交cd於點m,連線bm,n為bm的中點,連線gn,fn。1 若ab 4,ae de 3 1,求em的長 2 求證 gn fn 3 如圖2,移動點e,使得fn cd於點q時,請 cm與de的數量關...
平行四邊形證明題
2 如圖,f c是線段ad上的兩點,ab de,bc ef,af dc,連線ae bd,求證 四邊形abde是平行四邊形 3 如圖,點a f c d在同一直線上,點b和點e分別在直線ad的兩側,且ab de,a d,af dc 求證 四邊形bcef是平行四邊形 4 如圖,e f是平行四邊形abcd的...
特殊平行四邊形證明題
題型一 菱形的證明 1 如圖,在三角形中,分別是 上的點,沿線段翻摺,使點落在邊上,記為 若四邊形是菱形,則下列說法正確的是 a.是 的中位線 b.是邊上的中線 c.是邊上的高d.是 的角平分線 2 已知 如圖,在中,ae是bc邊上的高,將沿方向平移,使點e與點c重合,得 1 求證 2 若,當ab與...