分數乘法
一、分數乘法
（一）、分數乘法的計算法則：
1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）
2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。
3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。
注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。
（二）、規律：（乘法中比較大小時）
乙個數（0除外）乘大於1的數，積大於這個數。
乙個數（0除外）乘小於1的數（0除外），積小於這個數。
乙個數（0除外）乘1，積等於這個數。
（三）、分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。
（四）、整數乘法的交換律、結合律和分配律，對於分數乘法也同樣適用。
乘法交換律a × b = b × a
乘法結合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c
二、分數乘法的解決問題
（已知單位「1」的量（用乘法），求單位「1」的幾分之幾是多少）
1、找單位「1」： 在分率句中分率的前面； 或 「佔」、「是」、「比」的後面
2、求乙個數的幾倍： 乙個數×幾倍； 求乙個數的幾分之幾是多少： 乙個數×。
3、寫數量關係式技巧：
（1）「的」 相當於佔」、「是」、「比」相當於「 = 」
（2）分率前是「的單位「1」的量×分率=分率對應量
（3）分率前是「多或少」的意思： 單位「1」的量×（1分率）=分率對應量
三、倒數
1、倒數的意義： 乘積是1的兩個數互為倒數。
強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關係，它們互相依存，倒數不能單獨存在。
（要說清誰是誰的倒數）。
2、求倒數的方法：
（1）、求分數的倒數：交換分子分母的位置。（2）、求整數的倒數：
把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。（3）、求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。
（4）、求小數的倒數： 把小數化為分數，再求倒數。
3、1的倒數是1； 0沒有倒數。 因為1×1=1；0乘任何數都得0，（分母不能為0）
4、 對於任意數，它的倒數為；非零整數的倒數為；分數的倒數是；
5、真分數的倒數大於1；假分數的倒數小於或等於1；帶分數的倒數小於1。
分數除法
一、 分數除法
1、分數除法的意義：
分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中乙個因數，求另乙個因數的運算。
2、分數除法的計算法則： 除以乙個不為0的數，等於乘這個數的倒數。
3、 規律（分數除法比較大小時）：（1）、當除數大於1，商小於被除數；
（2）、當除數小於1（不等於0），商大於被除數；（3）、當除數等於1，商等於被除數。
4、 「」叫做中括號。乙個算式裡，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號裡面的再算中括號裡面的。
二、分數除法解決問題
（未知單位「1」的量（用除法）： 已知單位「1」的幾分之幾是多少，求單位「1」的量。 ）
1、數量關係式和分數乘法解決問題中的關係式相同：
（1）分率前是「的單位「1」的量×分率=分率對應量
（2）分率前是「多或少」的意思： 單位「1」的量×（1分率）=分率對應量
2、解法：（建議：最好用方程解答）
（1）方程： 根據數量關係式設未知量為x，用方程解答。
（2）算術（用除法）： 分率對應量÷對應分率 = 單位「1」的量
3、求乙個數是另乙個數的幾分之幾：就乙個數÷另乙個數
4、求乙個數比另乙個數多（少）幾分之幾：
① 求多幾分之幾：大數÷小數 – 1 ② 求少幾分之幾： 1 - 小數÷大數
或① 求多幾分之幾（大數-小數）÷小數② 求少幾分之幾：（大數-小數）÷大數
三、比和比的應用
（一）、比的意義
1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。
2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號後面的數叫做比的後項。比的前項除以後項所得的商，叫做比值。
例如 15 ：10 = 15÷10=（比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示）
前項比號後項比值
3、比可以表示兩個相同量的關係，即倍數關係。也可以表示兩個不同量的比，得到乙個新量。例： 路程÷速度=時間。
4、區分比和比值
比：表示兩個數的關係，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。
比值：相當於商，是乙個數，可以是整數，分數，也可以是小數。
5、根據分數與除法的關係，兩個數的比也可以寫成分數形式。
6、 比和除法、分數的聯絡：
7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是乙個數，比表示兩個數的關係。
8、根據比與除法、分數的關係，可以理解比的後項不能為0
體育比賽中出現兩隊的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關係。
（二）、比的基本性質
1、根據比、除法、分數的關係：
商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（0除外），分數值不變。
比的基本性質：比的前項和後項同時乘或除以相同的數(0除外)，比值不變。
2、最簡整數比：比的前項和後項都是整數，並且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。
3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。
4.化簡比：
①用比的前項和後項同時除以它們的最大公因數。
（1兩個分數的比：用前項後項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。
③兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。
（2）用求比值的方法。注意: 最後結果要寫成比的形式。
如： 15∶10 = 15÷10 = = 3∶2
5．按比例分配：把乙個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。
如： 已知兩個量之比為，則設這兩個量分別為。
6、 路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時間比則為5：4）
工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。
（如：工作總量相同，工作時間比是3：2，工作效率比則是2：3）
圓一、 認識圓
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對折兩次，摺痕相交於圓中心的一點，這一點叫做圓心。
一般用字母o表示。它到圓上任意一點的距離都相等．
3、半徑：連線圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用字母r表示。
把圓規兩腳分開，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過圓心並且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。
直徑是乙個圓內最長的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同圓或等圓內，有無數條半徑，有無數條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7．在同圓或等圓內，直徑的長度是半徑的2倍，半徑的長度是直徑的。
用字母表示為：d＝2r或r ＝
8、軸對稱圖形：
如果乙個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形是軸對稱圖形。
摺痕所在的這條直線叫做對稱軸。（經過圓心的任意一條直線或直徑所在的直線）
9、長方形、正方形和圓都是對稱圖形，都有對稱軸。這些圖形都是軸對稱圖形。
10、只有1一條對稱軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。
只有2條對稱軸的圖形是： 長方形
只有3條對稱軸的圖形是： 等邊三角形
只有4條對稱軸的圖形是： 正方形;
有無數條對稱軸的圖形是： 圓、圓環。
二、圓的周長
1、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長。用字母c表示。
2、圓周率實驗：
在圓形紙片上做個記號，與直尺0刻度對齊，在直尺上滾動一周，求出圓的周長。
發現一般規律，就是圓周長與它直徑的比值是乙個固定數（π）。
3．圓周率：任意乙個圓的周長與它的直徑的比值是乙個固定的數，我們把它叫做圓周率。
用字母π（pai） 表示。
（1）、乙個圓的周長總是它直徑的3倍多一些，這個比值是乙個固定的數。
圓周率π是乙個無限不迴圈小數。在計算時，一般取π ≈ 3.14。
（2）、在判斷時，圓周長與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第乙個把圓周率算出來的人是我國的數學家祖沖之。
4、圓的周長公式： c= πdd = c ÷π
或c=2π rr = c ÷ 2π
5、在乙個正方形裡畫乙個最大的圓，圓的直徑等於正方形的邊長。
在乙個長方形裡畫乙個最大的圓，圓的直徑等於長方形的寬。
6、區分周長的一半和半圓的周長：
（1） 周長的一半：等於圓的周長÷2計算方法：2π r ÷ 2 即 π r
（2）半圓的周長：等於圓的周長的一半加直徑。 計算方法：πr＋2r
三、圓的面積
1、圓的面積：圓所佔平面的大小叫做圓的面積。 用字母s表示。
2、一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。
3、圓面積公式的推導：
（1）、用逐漸逼近的轉化思想： 體現化圓為方，化曲為直；化新為舊，化未知為已知，化複雜為簡單，化抽象為具體。
（2）、把乙個圓等分（偶數份）成的扇形份數越多，拼成的影象越接近長方形。
（3）、拼出的圖形與圓的周長和半徑的關係。
圓的半徑長方形的寬
圓的周長的一半長方形的長
因為： 長方形面積長 × 寬
所以圓的面積 = 圓周長的一半 × 圓的半徑
s圓 = πr × r
圓的面積公式： s圓 = πr2
4、環形的面積：
乙個環形，外圓的半徑是r，內圓的半徑是r。（r＝r＋環的寬度．）
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