平面向量
學習方法：①理論意義、實際意義；
②基本概念，知識網路，思想方法，基本技巧；
③五步學習法：講清內容，整理內容，課後練習，講解練習，總結練習；
④基本考點：、向量的運算及其幾何意義； 、向量的線性運算； 、共線問題；
、基本定理應用及其向量分解； 、座標表示及其運算； 、平行問題的座標表示；
、數量積的運算； 、夾角問題； 、模長及垂直條件；
、在平面幾何中應用； 、在解析幾何中的應用；、在解三角形中的應用；
、在物理中的應用；
一、向量有關概念：
①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，向量可以平移；
②零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
作用:１、解決矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、乙個封閉圖形首尾連線而成的向量和為零向量；
③單位向量：長度為乙個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；單位化
④相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；大小和方向有關，與位置無關；
⑤相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－；
⑥平行向量（共線向量）：
１、方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量；
２、記作：∥零向量和任何非零向量平行；
３、兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；
４、平行向量無傳遞性！（因為有)；
５、三點共線共線；
⑦相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
、向量的運算及其幾何意義：
例１、下列命題：
①若，則；②兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同；
③若，則是平行四邊形；④若是平行四邊形，則；
⑤若，則；⑥若，則；其中正確的是_______
例２、下列命題正確是：
①若，則；
②若非零向量與方向相同或相反，則與之一的方向相同；
③若，則；
④若，則或；
⑤若，則；
⑥若，則；
⑦與方向相同；
⑧向量與向量共線的充要條件是有且僅有只有乙個實數，使得；
⑨；⑥若，則；
、向量的線性運算：「三角形法則」和「平行四邊形法則」
例３、已知中，點在邊上，且，，則的值是___
例４、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為
例５、邊長為的正三角形中，設，則？
、共線問題：
例６、已知，設，如果，那麼為何值時，
三點在一條直線上？
例７、 如圖1，已知點g是的重心，過g作直線與ab，ac兩邊分別交於m，n兩點，且，
，則。例１、④⑤
例２、①
例３、解:用零向量解決矛盾
例４、解:例５、
解：設，則，由題意，得，
例６、解：，三點在一條直線上的充要條件是存在實數，使得，即，整理得；
當共線，則可為任意實數；當不共線，則有；綜上，任意，共線，，不。
例７、點g是的重心，知o，得o，
有。又m，n，g三點共線（a不在直線mn上），於是存在，
使得， 有=，得，
於是得。
二、向量的表示方法：
①幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在後；
②符號表示法：用乙個小寫的英文本母來表示，如，，等；
③座標表示法：在平面內建立直角座標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的座標，＝叫做向量的座標表示。如果向量的起點在原點，那麼向量的座標與向量的終點座標相同。
、座標表示及其運算；
例１、若，則______
例２、如平面直角座標系中，為座標原點，已知兩點,,若點滿足,
其中且,則點的軌跡是_______
、基本定理應用及其向量分解：
例３、給定兩個長度為１的平面向量和，它們的夾角為.
如圖，點在以為圓心的圓弧上變動.
若，其中，則的最大值是？
例４、已知是的外心，.若，則？
例１、解：
例２、向量中三終點共線存在實數使得且.直線
例３、解：方法
一、設，則，即
所以.方法二、將向量式兩邊平方，得，
因為，故.
方法三、以直線為軸，過垂直於的直線為軸建立平面直角座標系，則
代入可得，即，
，所以由柯西不等式，得.
方法四、設，作平行四邊形，則.設在中使用正弦定理得
方法五、，設與的交點為，，則由
，得，且兩邊取模並平方整理得
故.方法
六、設，，當時，.
例４、已知是的外心，.若，則？
解：方法
一、點乘法：兩邊同時乘以得，
即，所以.
方法二、座標法：以點為原點，以及其垂直平分線所在的直線分別為軸、軸建立直角座標系.由餘弦定理得，再由正弦定理得，，所以，
即，而，
，於是，所以.
三、平面向量的基本定理：共線和不共線定理
①共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有乙個實數，使得。
ⅰ、提供證明共線或平行的方法。
ⅱ、定比分點座標公式，中點座標公式，重心公式。
、平行問題的座標表示；
例１、已知和點滿足，若存在實數使得成立，則３
例２、已知點，，若，則當＝____時，點在第
一、三象限的角平分線上。
例３、若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則？
例１解：由知，點為的重心，設為邊的中點，則向量加法可知。
由重心的性質可知：，而且與同向，故。
例２、答：；
例３、（答：2）；
②共線定理應用：
１、定比分點的概念：設點是直線上異於的任意一點，若存在乙個實數 ，使，則叫做點分有向線段所成的比，點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
２、的符號與分點的位置之間的關係：
當點**段上時；當點**段的延長線上時 ；
當點**段的延長線上時；
當分有向線段所成的比為，則點分有向線段所成的比為。
３、線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，
ⅰ、當時，就得到線段的中點公式。在使用定比分點的座標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的座標。在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，並根據這些點確定對應的定比。
ⅱ、若分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，
特別地為的中點；
例１、若，，且，則點的座標為_______
例２、已知，直線與線段交於，且，則等於_______
例３、如圖，在中，點是的中點，點在邊上，且，
與相交於點，求的值？
例１、解:法一:
解法二:
例２、例３、設，則，，
和分別共線，存在，使
，故，而，
由平面向量基本定理得，，即.
５、平行四邊形法則：
分析：例１、已知是兩個非零向量，且，則的夾角？
例２、已知，則等於____
例３、若向量與向量的夾角為，，則向量模？
例４、若正方形的邊長為1，，則＝_____
例５、已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼＝_____
例６、若是所在平面內一點，且滿足，則的形狀？
例１、；
例２、；
例３、６；
例４、；
例５、；
例６、直角三角形；
③如果和是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對該平面內的任一向量，有且只有一對實數，
使。應用：１、解釋平面直角座標系中的任意點座標的來由。
２、 共＋平＝不共
分析：例１、下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 （ ）
例２、平面上三個不同點不共線，問：是否存在實數滿足，且。
例３、平面上三點不共線，設,則的面積等於________k^s*5u.c#
（ab）
（c） （d）
例１、解：不共線，非零向量。用共線定理否定的方法（答：）；
例２、反證法：
假設存在，表示不全為零，可設，由，，，若不然，時，重合，與已知「三點」矛盾，可見，
，這表明存在，使。可知共線，這與「」不共線「矛盾」，
表明不存在滿足全部條件的實數。注：，當時，共線定理。
例３、解析：選c.
④實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當》0時，的方向與的方向相同，當<0時，的方向與的方向相反，當＝0時，，注：≠0。
分析：⑤平面向量的數量積：
（1）兩個向量的夾角：對於非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
（2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即。
規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是乙個實數，不再是乙個向量。
（3）在上的投影為，它是乙個實數，但不一定大於0。
（4）的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積。
（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
ⅰ、；ⅱ、當，同向時， ，特別地，；
當與反向時， ；
當為銳角時，，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；
當為鈍角時，，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
ⅲ、非零向量，夾角的計算公式：；
ⅳ、；；
當同向或有；
當反向或有；
當不共線；
、數量積的運算；
例１、已知，，且，則向量在向量上的投影為______
例２、中，，，，則_________
例３、已知，與的夾角為，則等於___
例４、已知非零向量滿足與互相垂直，與互相垂直，則與的夾角？
例５、已知圓的半徑為，、為該圓的兩條切線，為兩切點，那麼的最小值為
例６、為非零向量，「」是「函式為一次函式」的________條件。
、夾角問題；
例７、已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍？
例８、已知的面積為，且，若，則夾角的取值範圍？
例９、若兩向量滿足所成的角為，若向量與向量所成的角為鈍角，
求實數的取值範圍？
例10、已知與之間有關係式，①用表示；
②求的最大值，並求此時與的夾角的大小？
②最小值？
③當取得最大值時，求實數，使的值最小，並對這一結果做出幾何解釋；
例11、已知，設，
①求函式的最小正週期；
②當時，求函式的最大值及最小值；
例１、；
例２、；
例３、；
例４、解：由已知條件得。
例５、解析1、如圖所示：設,則，
，令，則，
即，由是實數，所以，，
解得或.故，此時.
解析2、設，
換元：，；
解析3、建系：圓的方程為，設，
例６、必要不充分；
解：①；②為一次函式且；
③且；「積木式問題」的解題策略:
ⅰ、先分別對每個條件進行推理，直至得出認為有作用的結果；再認真分析這些結果，探索它們之間的聯絡；
平面向量複習基本知識點及經典結論總結
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