例1-4 圖1-12表示一重為w，長為l的均質杆，可繞其上的鉸鏈在鉛垂麵內擺動,若在距上端1／4l處垂直作用一正弦激振力f＝fsin(t)，忽略阻尼，求杆的穩態微幅振動。
解:取擺角為廣義座標,根據動量矩定理，可建立微振動情況下的振動微分方程為
其中i=wl2/3g，可解得固有頻率為，其穩態響應為
有些振動不是因為激振力直接作用於物體引起的，而是由於支承的運動引起的，稱為位移激振(displacement excitation)。如**引起的地面結構的振動，汽車行駛時，由於凹凸不乎的地面引起車身的振動，放在機器上的儀器的振動等。
1．位移激振微分方程
圖1—14所示單自由度系統，支承作簡諧振動，其規律為x1＝bsin(t)。設質量m的振動位移為x，則作用在質量上的彈性力為-k(x-x1)，阻尼力為一c(x一x1)，根據牛頓定律有
圖1—15表示位移激振的幅頻曲線．其中振幅比a／b表示了位移傳遞宰。對於隔振的要求來說，應有a／b＜1，從圖可看出，滿足這一要求的頻率比，且當時，阻尼比越小越好，
1.6 週期激振
週期性激振力也是常見的激振方式，例如往復式機械的慣性力，電磁鐵通過交流電產生的電磁力，連續沖壓時的週期性脈動力等等。週期性激振力的特點是激振力可表示為f(t)＝f(t+t)，其中t稱為激振力的週期。研究週期激振的穩態響應時，常採用諧波分析方法.
諧波分析方法就是將週期為t的f(t)按fourier級數展開
式中=2/t，稱為基頻。
例 1－5 求下圖方波的諧波分解
1 7 單位脈衝激振和單位階躍激振
研究單位脈衝(unit impulse)激振和單位階躍(unit step)激振是研究任意力激振的基礎。
1．7．1 單位脈衝激振
下面研究一單自由度系統受到某一衝擊作用後的響應
。圖1—19所示發生在t1時刻的某一衝擊力，其持續時間為t，假設在此時間內力f的大小不變，則f的衝量為
上式稱為單位脈衝響應函式．記為h(t)．這是乙個準週期函式(圖1—20)，常寫為下面形式
1 7．2 單位階聯激振
若對某單自由度系統作用乙個單位階躍函式的激振力f(t)＝u(t)，u(t)滿足下面關係
當t>0時，系統的振動方程為
對於零初值條件，有
任意激振又稱非週期激振，它是最一般的情況。研究任意激振響應問題，一般有兩種方法．一是將任意激振力看成無數微小的階躍函式組成的函式；另一方法是將任意激振力
看成無數微小的脈衝函式組成的函式。下面採用第二種方法。
圖1－26表示一任意激振力f(t)的時間歷程曲線，可以認為f(t)在任意時刻至+d的衝量為f()d (d0)，在這個脈衝的作用下，單自由度系統的響應，根據上節的理論應為h(t-)f()d，其t-＞o，因為只有t＞時,元脈衝f()d才能引起系統響應。由於研究的是線性系統，所以從o到t這段時間間隔內全部元脈衝f()d作用的響應之
和即f(t)引起的響應，有
上式稱為杜哈梅(duhamel)積分．式中認為初始系統處於靜止狀態。
上式在數學上稱為單位脈衝響應函式h(t)與力函式f(t)的卷積
簡寫為：
1．9 頻率響應函式(機械導納)
輸入為力，輸出為位移時的頻數函式h()為動柔度，也稱為
機械導納(mechanical mobility)。在系統動力學中統稱為頻響函式。頻響函式是反映系統動特性的很重要的物理量。後面在模態引數辨識及隨機振動中還要用到這一重要概念。
機械導納的倒數
稱為機械阻抗(mechanical impedance)，輸入為力，輸出為位移時納機械阻抗又稱為動剛度。它表示產生單位正弦位移所需的正弦微振力。注意動剛度、動柔度或頻響函式不僅與系統的靜剛度或靜柔度有關，還與系統的質量、阻尼．持別是激振頻率有關。
1．10 阻尼
振動系統中的阻尼足乙個很複雜的概念，一般泛指振動過程中的能量耗散統稱為阻尼。阻尼產生的原因也是很多的，主要有介質的阻力，材料的內耗(內摩擦)。還有從支承處向外的波的傳播、聲音的傳播等等。
在建立阻尼的數學模型時，必須給以簡化，通常都把阻尼看成與運動速度相反的一種阻力。
關於阻尼的數學模型可以分為以下三類：
(1)粘性阻尼
線性粘性阻尼理論認為阻尼力的大小與速度成正比，方問與速度方向相反，即。粘性阻尼相當於物體在氣體中低速運動的介質阻力。這種線性假設在數學上給我們帶來很大的好處，而且在微振動條件下這種假設也有一定的精確性。
因此在一般情況下，粘性阻尼是用得最多的。
(2)滯後阻尼(結構阻尼)(hysteretic damping，structural damping)
滯後阻尼假設**於結構內部由於振動變形引起能量耗散帶來的阻尼．它又稱為固體阻尼、材料阻尼和結構阻尼。很多材料在往復變形個的應力應變曲線不是直線，而是如圖1·27所示的橢圓。從圖中可以看到．在外力作用下迴圈一周時，外力做功(應變絕對值增長方向)大於系統所釋放的彈性能(應變絕對值縮小方向)，因此有一部分能量被材料變形消耗。
但材料阻尼每週消耗的能量只與應變大小有關．而與振動頻率無關，這是與尼不同之處。根據這個道理，假設滯後阻尼的大小與振動位移成正比，但方向與速度方向相反(這樣才能得到負的功率)。
滯後阻尼可表示為
(3)幹摩擦阻尼(dry friction damping)
幹摩擦阻尼又稱庫淪阻尼(coulomb damping)，它的方向始終與物體運動速度方向相反，大小與正壓力成正比。若正壓力不變，幹摩擯力為常值，有
。(4)等效粘性阻尼
現實中的阻尼往往比較複雜，有時難以用一簡單數學規律來描述。但粘性阻尼比較簡單，也為人們所熟悉，所以對各種複雜阻尼，將引入等效粘性阻尼(equivalent viscous damping)的概念。用這種概念，將其它阻尼折算為等價的粘性阻尼。
折算的方法是認為其它阻尼與li粘性阻尼在振動一周之內所消耗的能量相等。粘性阻尼在一周內所做的功為
1.11 阻尼與幅頻曲線的關係
高等結構動力學p53p60
3.2.4 模態座標與模態引數 若系統的主模態 即主振型 已經解出，則可建立模態矩陣.引入一組新的座標 使新座標 和原物理座標 x 之間的變換關係為 就是模態座標 model coordinate 該變換的物理意義是 將物理座標xi看作是各階主模態的線性疊加.i為加權因子.其中,等價於或 正則模態 ...
結構動力學
結構動力學 習題答案1 15 1 1簡述求多自由度體系時程反應的振型疊加法的主要步驟 答1 建立多自由度體系的運動方程 2 進行振型和頻率分析 對無阻尼自由振動，這個矩陣方程能歸結為特徵問題 由此確定振型矩陣和頻率向量 3 求廣義質量和荷載 依次取每乙個振型向量，計算每乙個振型的廣義質量和廣義荷載 ...
結構動力學試卷
試卷號 pb060032 一 本大題15分 圖示體系 不計杆質量 試求其自振頻率 二 本大題15分 求圖示體系支座彎矩的最大值 荷載 三 本大題20分 求圖示體系的自振頻率和主振型 並作出振型圖 已知 ei 常數 四 本大題20分 試作圖示體系的動力彎矩圖。柱高均為，柱剛度常數 五 本大題30分 求...