高中數學知識點總結
第一章——集合與簡易邏輯
集合——知識點歸納
定義：一組物件的全體形成乙個集合
特徵：確定性、互異性、無序性
表示法：列舉法、描述法韋恩圖
分類：有限集、無限集
數集：自然數集n、整數集z、有理數集q、實數集r、正整數集n、空集φ
關係：屬於∈、不屬於、包含於(或)、真包含於、集合相等＝
運算：交運算a∩b＝；
並運算a∪b＝;
補運算＝，u為全集
性質：aa； φa； 若ab，bc，則ac；
a∩a＝a∪a＝a； a∩φ＝φ；a∪φ＝a；
a∩b＝aa∪b＝bab；
a∩ca＝φ； a∪ca＝i；c( ca)＝a；
c(ab)＝(ca)∩(cb)
方法：韋恩示意圖, 數軸分析
注意：① 區別∈與、與、a與、φ與、與；
② ab時，a有兩種情況：a＝φ與a≠φ
③若集合a中有n個元素，則集合a的所有不同的子集個數為，所有真子集的個數是-1, 所有非空真子集的個數是
④區分集合中元素的形式：如；；；；；；
⑤空集是指不含任何元素的集合、和的區別；0與三者間的關係空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況
⑥符號「」是表示元素與集合之間關係的，立體幾何中的體現點與直線（面）的關係 ；符號「」是表示集合與集合之間關係的，立體幾何中的體現面與直線(面)的關係
絕對值不等式——知識點歸納
1絕對值不等式
與型不等式與型不等式的解法與解集：
不等式的解集是;
不等式的解集是
不等式的解集為 ;
不等式的解集為
2解一元一次不等式
① ②
3韋達定理：
方程（）的二實根為、，
則且①兩個正根，則需滿足，
②兩個負根，則需滿足，
③一正根和一負根，則需滿足
4．一元二次不等式的解法步驟
對於一元二次不等式，設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：
方程的根→函式草圖→觀察得解，對於的情況可以化為的情況解決
注意：含引數的不等式ax＋bx＋c>0恆成立問題含參不等式ax＋bx＋c>0的解集是r；其解答分a＝0(驗證bx＋c>0是否恆成立)、a≠0（a<0且△<0）兩種情況
簡易邏輯——知識點歸納
命題可以判斷真假的語句；
邏輯聯結詞或、且、非；
簡單命題不含邏輯聯結詞的命題；
復合命題由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題
三種形式 p或q、p且q、非p
真假判斷 p或q，同假為假，否則為真；
p且q，同真為真, 否則為假；
非p，真假相反
原命題若p則q；逆命題若q則p；否命題若p則q；逆否命題若q則p；互為逆否的兩個命題是等價的
反證法步驟假設結論不成立→推出矛盾→假設不成立
充要條件條件p成立結論q成立，則稱條件p是結論q的充分條件，
結論q成立條件p成立，則稱條件p是結論q的必要條件，
條件p成立結論q成立，則稱條件p是結論q的充要條件，
第二章——函式
函式定義——知識點歸納
1函式的定義：設a、b是非空的數集，如果按某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那麼就稱f:a→b為從集合a到集合b的乙個函式，記作y=f（x），x∈a，其中x叫做自變數x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域
2兩個函式的相等：函式的定義含有三個要素，即定義域a、值域c和對應法則f當函式的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之後，函式的值域也就隨之確定因此，定義域和對應法則為函式的兩個基本條件，當且僅當兩個函式的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函式才是同乙個函式
3對映的定義：一般地，設a、b是兩個集合，如果按照某種對應關係f，對於集合a中的任何乙個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應，那麼，這樣的對應（包括集合a、b，以及集合a到集合b的對應關係f）叫做集合a到集合b的對映，記作f:a→b
由對映和函式的定義可知，函式是一類特殊的對映，它要求a、b非空且皆為數集
4對映的概念中象、原象的理解：(1) a中每乙個元素都有象;(2)b中每乙個元素不一定都有原象，不一定只乙個原象；(3)a中每乙個元素的象唯一
函式解析式——知識點歸納
1函式的三種表示法
（1）解析法：就是把兩個變數的函式關係，用乙個等式來表示，這個等式叫做函式的解析表示式，簡稱解析式
（2）列表法：就是列出**來表示兩個變數的函式關係
（3）圖象法：就是用函式圖象表示兩個變數之間的關係
2求函式解析式的題型有：
（1）已知函式型別，求函式的解析式：待定係數法；
（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；
（3）已知函式影象，求函式解析式；
（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式解方程組法；
（5）應用題求函式解析式常用方法有待定係數法等
題型講解
例1（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函式，且滿足，求；
（4）已知滿足，求
解：（1）∵，
∴（或）
（2）令（），
則，∴，∴
（3）設，則，
∴，，∴
（4） ①，
把①中的換成，得 ②，
①②得，∴
注：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函式，可用待定係數法；第（4）題用方程組法
定義域和值域——知識點歸納
由給定函式解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值範圍它依賴於對各種式的認識與解不等式技能的熟練
1求函式解析式的題型有：
（1）已知函式型別，求函式的解析式：待定係數法；
（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；
（3）已知函式影象，求函式解析式；
（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法；
（5）應用題求函式解析式常用方法有待定係數法等
2求函式定義域一般有三類問題：
（1）給出函式解析式的：函式的定義域是使解析式有意義的自變數的取值集合；
（2）實際問題：函式的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義；
（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：
①掌握基本初等函式（尤其是分式函式、無理函式、對數函式、三角函式）的定義域；
②若已知的定義域，其復合函式的定義域應由解出
3求函式值域的各種方法
函式的值域是由其對應法則和定義域共同決定的其型別依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函式值域；(2)求由常見函式復合而成的函式的值域；(3)求由常見函式作某些「運算」而得函式的值域
①直接法：利用常見函式的值域來求
一次函式y=ax+b(a0)的定義域為r，值域為r；
反比例函式的定義域為，值域為；
二次函式的定義域為r，
當a>0時，值域為{}；
當a<0時，值域為{}
②配方法：轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；常轉化為型如：的形式；
③分式轉化法（或改為「分離常數法」）
④換元法：通過變數代換轉化為能求值域的函式，化歸思想；
⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式，運用三角函式有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調性法：函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域
⑧數形結合：根據函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域
⑨逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值範圍，通過解不等式，得出的取值範圍；常用來解，型如：
單調性——知識點歸納
1函式單調性的定義：
2 證明函式單調性的一般方法:
①定義法：設；作差（一般結果要分解為若干個因式的乘積，且每乙個因式的正或負號能清楚地判斷出）；判斷正負號
②用導數證明： 若在某個區間a內有導數，則
在a內為增函式；在a內為減函式
3 求單調區間的方法：定義法、導數法、圖象法
4復合函式在公共定義域上的單調性：
①若f與g的單調性相同，則為增函式；
②若f與g的單調性相反，則為減函式
注意：先求定義域，單調區間是定義域的子集
5一些有用的結論：
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同；
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函式增函式是增函式；
減函式減函式是減函式；
增函式減函式是增函式；
減函式增函式是減函式
④函式在上單調遞增；在上是單調遞減
奇偶性——知識點歸納
1函式的奇偶性的定義；
2奇偶函式的性質：
（1）定義域關於原點對稱；（2）偶函式的圖象關於軸對稱，奇函式的圖象關於原點對稱；
3為偶函式
4若奇函式的定義域包含，則
5判斷函式的奇偶性，首先要研究函式的定義域，有時還要對函式式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響；
6牢記奇偶函式的圖象特徵，有助於判斷函式的奇偶性；
7判斷函式的奇偶性有時可以用定義的等價形式：
，8設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
1判斷函式的奇偶性，必須按照函式的奇偶性定義進行，為了便於判斷，常應用定義的等價形式：f( x)= f(x) f( x) f(x)=0；
2討論函式的奇偶性的前提條件是函式的定義域關於原點對稱，要重視這一點；
3若奇函式的定義域包含0，則f(0)=0,因此，「f(x)為奇函式」是"f(0)=0"的非充分非必要條件；
4奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱，因此根據圖象的對稱性可以判斷函式的奇偶性
5若存在常數t，使得f(x+t)=f(x)對f(x)定義域內任意x恆成立，則稱t為函式f(x)的週期，
（5）函式的週期性
定義：若t為非零常數，對於定義域內的任一x，使恆成立
則f(x)叫做週期函式，t叫做這個函式的乙個週期
反函式——知識點歸納
1反函式存在的條件：從定義域到值域上的一一對映確定的函式才有反函式；
高中數學知識點總結
高中數學常用公式及常用結論 1.元素與集合的關係 2.德摩根公式 3.包含關係 4.容斥原理 5 集合的子集個數共有個 真子集有 1個 非空子集有 1個 非空的真子集有 2個.6.二次函式的解析式的三種形式 1 一般式 2 頂點式 3 零點式.7.解連不等式常有以下轉化形式 8.方程在上有且只有乙個...
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集合與簡易邏輯 函式 的公式和部分重要結論 注意 1 集合的子集個數共有個 真子集有 1個 非空子集有 1個。2 常見結論的否定形式 3 若，則是充分條件.若，則是必要條件.若，且，則是充要條件.注 如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件 反之亦然.數列一 數列的概念 1 定義 2 數列的分類 1...