系統工程的主要目標是改造或建立系統，使系統的整體功能達到最優。而作為系統科學的技術基礎之一的運籌學，就是從系統總體的角度尋求系統最優解的數學工具，它包括數學規劃（第3章）、圖與網路（第4章）、決策分析（第6章）等。本章著重介紹數學規劃的基本概念以及相關演算法。
所謂數學規劃，是指系統在一定約束條件下使某一評價目標達到最優（極值）的一種決策方法。數學規劃的關鍵是從系統思想出發，在定性分析的基礎上建立其數學模型。
數學規劃模型的一般形式為：系統在滿足條件
1）的情況下，使評價目標達到最優（最大或最小值），即
2）其中，式（1）是系統必須滿足的限制條件的數學描述，通常由等式或不等式組成，稱為約束條件，簡記為s.t.（subject to，意為「受…的限制」）；式（2）是系統評價目標的數學描述，稱為目標函式。
由於不同系統的目標函式和約束條件存在差異，則數學規劃可以分為線性規劃、非線性規劃和動態規劃等。下面我們主要介紹各數學規劃模型的建立、求解及其結果分析方法。
一、 線性規劃
所謂線性規劃，是指約束條件和目標函式均為線性的數學規劃方法。根據系統評價目標是單個還是多個，可將線性規劃分為單目標線性規劃和多目標線性規劃。
（一）單目標線性規劃
1. 問題的提出
在生產管理和經營活動中經常提出一類問題，即如何充分合理地利用有限的人力、物力、財力等資源，以便獲得最佳的經濟效益。
例1（生產管理問題） 某工廠計畫期內要安排生產ⅰ、ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的裝置台時及a、b兩種原材料的消耗，如表所示。該工廠每生產一件產品ⅰ可獲利2元，每生產一件產品ⅱ可獲利3元，問如何安排生產計畫才能使工廠獲利最多？
解上述所謂的「安排生產計畫」問題，其實質就是要尋求乙個滿足裝置和原材料資源約束的可行的生產方案，以確保工廠能獲得最大的利潤值。
假設產品ⅰ、ⅱ的產量分別為x1、x2，則該工廠的獲利值f = 2 x1 + 3 x2。
由於可行的生產方案需要考慮不能超出裝置的有效臺時數限制，即x1+2 x2≤8；同時，還要考慮滿足a、b原材料資源的約束條件，即4x1≤16，4x2≤12。因此，工廠的目標是在滿足裝置和原材料資源限制的條件下，如何確定兩種產品的產量x1、x2，使工廠的獲利最大。
綜上所述，上述安排生產計畫問題的數學模型為
目標滿足約束條件（s.t.）
由此可見，將這類實際問題轉換為數學模型的基本步驟可歸納如下：
（1） 確定決策變數；
決策變數必須是可控制的且常用x1, x2, …, xn表示，如例1中產品ⅰ、ⅱ的產量。
（2） 確定所要追求的目標（目的）；
目標通常用決策變數的函式來表達，稱為目標函式。目標可以是單一或多個的，這裡著重討論目標單一的情形，如例1中工廠的最大獲利。
（3） 確定約束條件；
將現實中的各種限制用含有決策變數的數學關係式（等式或不等式）來表達，稱為約束條件，如例1中裝置和原材料資源的限制。
例2（環保問題） 靠近某河流有兩個化工廠，流經工廠1的河水流量是5×106m3/天，在兩個工廠之間有一條流量為2×106m3/天的支流，如圖所示。工廠1每天排放工業汙水2×104m3，工廠2每天排放工業汙水1.4×104m3。
從工廠1排出的汙水流到工廠2之前，有20%可自然淨化。根據環保要求，河流中工業汙水的含量不應超過0.2%。
若這兩個工廠都各自處理一部分汙水，工廠1處理汙水的成本是1000元/104m3，工廠2處理汙水的成本是800元/104m3，試問在滿足環保要求的條件下，各工廠應分別處理多少汙水，才能使兩個工廠處理汙水的總費用最小？
解假設工廠1和工廠2每天處理汙水量分別為x1·104m3、x2·104m3，則兩個工廠處理汙水的總費用f = 1000x1 + 800 x2。
根據環保要求，從工廠1到工廠2之間的河流中汙水含量不超過0.2%，則可得
由於從工廠1排出的汙水流到工廠2之前有20%會自然淨化，且流經工廠2後河流中汙水含量仍要不超過0.2%，故有
此外，各工廠每天的汙水處理量不應超過其汙水排放量，則有x1≤2，x2≤1.4。因此，問題的目標是要求兩個工廠處理汙水的總費用最小。
綜上所述，上述環保問題的數學模型為
目標滿足約束條件（s.t.）
2. 數學模型的建立
通過上述例題可知，應用單目標線性規劃來解決實際的最優化問題時，必須符合以下特徵（參見p34）：
（1） 所求問題都有乙個目標要求，且相應的目標函式可以用最大或最小值的形式來表達；
（2） 要達到最優目標，必須有多種方案可供選擇；
注意：每一組決策變數（x1, x2, …, xn）的取值就是乙個具體方案。
（3） 所尋求的目標必然有條件約束；
（4） 目標函式和約束條件都是線性方程序，且決策變數具有非負性。
因此，單目標線性規劃問題的數學模型可歸納如下：
目標函式
滿足約束條件（s.t.）
其中，aij, bi, cj為已知常數。
3. 數學模型的標準化
由於在單目標線性規劃問題中，其目標函式的實現可能要求最大化或最小化，約束條件又可能是等式或「≥/≤」形式的不等式，這種多樣性給問題的研究帶來很大的不便。為此，我們將單目標線性規劃的數學模型規定為以下標準形式：
（1） 目標函式是求最大值
當目標函式是求最小值時，即
由於令f ' = -f，可得
（2） 約束條件均用線性等式方程來表示，且右邊常數項均為非負值
顯然，實際的約束條件不可能都是等式關係。當表示式中含「≤」時，可在約束條件左邊加上乙個非負的變數——鬆弛變數，使原來的「≤」變為「=」；當表示式中含「≥」時，可在約束條件左邊減去乙個非負的變數——剩餘變數，使原來的「≥」變為「=」。
另外，在標準型中要求約束條件右邊的常數項bi≥0，若存在bi<0的情形，則可在方程式兩邊各乘以-1，使所有bi≥0得到滿足。
（3） 所有變數要求非負
為了滿足標準型對變數非負的要求，當xi≤0時，則可令xi' = -xi且xi' ≥0；當xi為無約束的自由變數時，則可令xi' -xi" = xi且xi' 、xi" ≥0。
綜上所述，可得單目標線性規劃模型的標準形式：
目標函式
滿足約束條件（s.t.）
例3 將例1（生產管理問題）的數學模型化為標準形式。
解例1的目標函式是求最大值，各不等式均為「≤」形式的不等式，故需要在各不等式的左邊加上非負的鬆弛變數x3, x4, x5，使不等式化為等式。由於所加變數x3, x4, x5表示未被利用的資源，則也就沒有被轉化為價值，所以在目標函式中x3, x4, x5的係數應為零。因此，其標準形式為
例4（思考題） 將例2（環保問題）的數學模型化為標準形式。
解例2的目標函式是求最小值，需要變為求最大值。其約束條件中，對於「≤」形式的不等式，需要在不等式的左邊加上非負的鬆弛變數，使其變為等式；對於「≥」形式的不等式，需要在不等式的左邊減去非負的剩餘變數，使其變為等式。且鬆弛變數和剩餘變數在目標函式中的係數為零。
因此，其標準形式為
例5 將下列數學模型化為標準型。
解令x1 = -x1'且x1' ≥0
x3 = x3' -x3"且x3' 、x3" ≥0
將第乙個約束條件兩端乘以-1並加入鬆弛變數x4，第二個約束條件減去剩餘變數x5，第三個約束條件加上鬆弛變數x6，同時將目標函式變為求最大值，整理可得
4. **法
對於一般單目標線性規劃問題
滿足(2)式的點稱為該問題的解；而同時又滿足(3)式的點則稱為可行解。所有可行解組成的集合稱為可行域或可行解集。可行域上滿足(1)式的點稱為最優解，最優解對應的目標函式值稱為最優值。
當單目標線性規劃問題中只有兩個決策變數（即二維線性規劃）時，可以用**法來求解，以便直觀地理解該問題解的幾何意義。
例6 用**法求例1（生產管理問題）的解。
解 （1）由約束條件畫出可行域
因為x1, x2≥0，可行域在第一象限。第乙個約束條件x1+2x2≤8表示以直線x1+2x2= 8為邊界的右下方平面；第二個約束條件4x1≤16表示以x1= 4為邊界的左半平面；第三個約束條件4x2≤12表示以x2= 3為邊界的下半平面，因此，oabcd所圍成的凸多邊形即為可行域，如圖中的陰影部分所示。
（2）考慮目標函式的等值線和梯度方向
對目標函式f = 2x1 +3x2，令c為引數，則2x1 +3x2 = c表示目標函式的取值為c的一簇平行線，如圖中的虛線所示，且位於同一直線上的點具有相同的目標函式值，故稱其為「等值線」。當c值由小變大時，直線2x1 +3x2 = c沿著其梯度方向，向右上方平行移動。
（3）求問題的最優解
當目標函式沿其梯度方向平移至b點時，切點b即為最優解。則求出b點的座標
得最優解x1*= 4，x2*= 2；相應的最優值fmax = 2x1* +3x2*= 8+6 =14。
討論：若例1是求最小值，則在o點處達到最優解x1*= x2*= 0，且相應的最優值fmin = 0；
若例1中的目標函式變為f = 2x1 +4x2，則等值線2x1 +4x2 = c與約束條件x1+2x2≤8的邊界線相平行。當c值由小變大並與線段cb重合時，目標函式值達到最大，則表示線段cb上的任意一點都是最優解，即該問題有無窮多個最優解；
若在例1的數學模型中再加乙個約束條件-2x1+x2≥4，則可行域是空集，此時無可行解，當然也就無最優解。
通過上述的**法可見，單目標線性規劃問題中，所有可行解構成的可行域一般是凸多邊形或是無界的，其最優解具有以下重要特點：
若問題存在最優解，則一定在可行域的某個頂點上得到；
若兩個頂點上同時得到最優解，則這兩個頂點連線上的任何一點都是最優解；
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