合肥工業大學
工程碩士專業《工程中的有限元》2023年試卷
2023年10月7日晚考試
答案學號專業：
適用專業：工程碩士－土木與建築、水利工程2007級，出題人：牛忠榮
(共8題，滿分100分),
1． （10分）線彈性力學靜力問題有限元法計算列式的推導是如何採用彈性力學問題基本方程？
答： (1) 假設單元的位移場模式,
(2) 代入到幾何方程，得 ，
(3) 代入到物理方程，得，
(4) 代入到虛功方程或最小勢能原理，得到單元剛度剛度方程，
(5) 疊加到總剛陣，得到結構的平衡方程，
(6) 引入位移邊界條件後，非奇異，解上式得結點位移。
2． （12分）圖示彈性力學平面問題，採用三角形常應變元，網格劃分如圖，試求：
（1） 對圖中網格進行結點編號，並使其系統總剛度矩陣的頻寬最小；
（2） 計算在你的結點編號下的系統剛度矩陣的半頻寬；
（3） 根據圖中結構的邊界約束狀態，指出那些結點自由度的位移已知並且為何值。
解：3． （10分）彈性力學有限元中，平面等引數單元中的「等引數」概念是何意思？ 該單元在跨相鄰單元時，位移場連續嗎？ 應力場連續嗎？
答：在單元中，位移描述的形函式和單元形狀描述的形函式是相同的，引數個數相等，稱為等引數元。
相鄰等參元之間，位移是連續的，應力場不連續。
4． （13分）回答下列問題：
（1） 彈性力學平面問題8節點等參元，其單元自由度是多少？單元剛陣元素是多少？
（2） 彈性力學空間軸對稱問題三角形3節點單元，其單元自由度是多少？單元剛陣元素是多少？
（3） 彈性力學空間問題20節點等參元，其單元自由度是多少？單元剛陣元素是多少？
（4） 平面剛架結構梁單元（考慮軸向和橫向變形）的自由度是多少？單元剛陣元素是多少？
答：平面問題8節點等參元，其單元自由度是16個； 單元剛陣元素有256個；
軸對稱問題三角形3節點單元，單元自由度是6個；單元剛陣元素有36個；
空間問題20節點等參元，其單元自由度是60個；單元剛陣元素有3600個；
平面梁單元（考慮軸向和橫向變形）的自由度是6個；單元剛陣元素有36個。
5． （10分）彈性力學空間軸對稱問題的有限元計算列式與平面問題的有限元計算列式的主要區別之處？
答：區別之處是：平面問題應力和應變分量是3個，空間軸對稱問題應力和應變分量是4個；
求解剛度矩陣和等效結點力的積分，平面問題是在有厚度的單元平面上積分，而軸對稱問題是在整個環體上積分。即平面單元指有厚度的面，軸對稱單元指乙個軸對稱的旋轉體。
6． （20分）考慮乙個兩自由度振動系統，其振動的運動微分方程是
試求:（1) 系統的特徵方程；
（2) 振動系統的固有頻率和相應振型。
解：系統的質量矩陣和剛度矩陣為
，振型方程
特徵方程
， 令
得：，；
代入振型方程
1）， 令， 得；
2）， 令， 得或。
7．（25分）圖示為一剛性基礎上的三角形壩，受齊頂水壓力作用，設水的重度，土的重度，土的彈性模量e已知，泊松比。按平面應變考慮，取乙個三角形常應變單元，結點編號見圖，試計算：
（1）三角形單元的等效結點力向量；
（2）該三角形單元的剛度矩陣；
（3）已知的結點位移邊界條件；
（4）採用划行劃列法引入已知結點位移，計算出頂部結點位移。
（建議單元編號： i j m
1 2 3）
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