2023年泰州市初中數學青年教師解題比賽試題

（2023年12月15日）

說明：1.本試卷滿分100分，考試時間120分鐘；

2.請將答案或解答過程直接在答題紙上．

一、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

1．已知x=2是不等式≤0的解，x=1不是這個不等式的解，則實數a的範圍是 ▲ ．

2．二次函式(a≠0)的影象在2＜x＜3這一段位於x軸下方，在6＜x＜7這一段位於x軸的上方，則a的值為 ▲ ．

3．設二次函式(a≠0，≠)的影象與一次函式(d≠0)的影象交於點（，0），若函式的影象與x軸僅有乙個交點，則下列結論：①a(-)=d；②a(-)=d；③a(-)=d；④a(+)=d．其中正確的序號有 ▲ ．

4．實數a、n、m、b滿足a＜n＜m＜b，這四個數在數軸上對應的點分別為a、n、m、b（如圖）．若am 2＝bm·ab，bn 2＝an·ab，則稱m為a、b的「大**數」，n為a、b的「小**數」．當b－a＝2時，a、b的大**數與小**數之差m－n＝__▲____．

5．如圖，直線l⊥x軸於點p，且與反比例函式（x>0）及（x>0）的影象分別交於點a、b，連線oa、ob，已知△oab的面積為2，則

6．如圖是一張長方形紙片abcd，已知ab=8，ad=7，e為ab上一點，ae=5，現要剪下一張等腰三角形紙片（△aep），使點p落在長方形abcd的某一邊上，則等腰三角形aep的底邊長為 ▲ ．

二、解答題（本大題共7題，計82分）

7．（本題滿分10分）

質量分別為a、b（a≠b）的甲、乙兩塊金銀合金的含金率不同．從甲、乙兩塊合金上各切下一塊，分別和對方剩下的部分合金熔合，得到的兩塊新合金含金率相同．設切下的合金質量相同，求切下的每塊合金的質量．

8．（本題滿分10分）

四邊形abcd中，ab∥cd，m、n為ad、bc的中點，ac、bd相交於點o，過點o作ef∥ab交ad、bc於點e、f．試比較ef與mn的大小，並說明理由．

9．（本題滿分12分）

如圖，為⊙o的直徑，是延長線上一點，切⊙o於點，是⊙o的弦，，垂足為．

（1）求證：；

（2）過點作交⊙o於點，交於點，連線．若，，求的長．

10．（本題滿分12分）

已知點p是線段ab上與點a不重合的一點，且ap（1）如圖1，當α=90時，求∠的度數；

（2）如圖2，當點p2在ap1的延長線上時，求證：△∽△；

（3）如圖3，過bp的中點e作l1⊥bp ，過bp2的中點f作l2⊥bp2，l1與l2交於點q，連線pq，求證：p1p⊥pq．

11．（本題滿分12分）

已知：a、b、c均為非零實數，且a>b>c，關於x的一元二次方程（a≠0）其中乙個實數根為2．

（1）請直接寫出方程的另乙個實數根（用含a、c的代數式表示）；

（2）若實數m使代數式的值小於0，問：當x=m+5時，代數式的值是否為正數？寫出你的結論，並說明理由．

12．（本題滿分12分）

乙個身在他鄉的小夥子，得知父親病危的訊息後，要日夜兼程以最短的時間趕回家．如圖1，a為出發地，b為小夥子家的位置，mn是一條驛道，在和b位於驛道mn同側的地段全是砂土．設bc⊥mn於c，ac=m，bc=n．小夥子在驛道mn和砂土地上的速度分別為、（>>0）．

（1）若∶=5∶3，在圖2中作出小夥子從a趕到家b的路線（用尺規作圖）；

（2）求小夥子趕回家所用的最短時間（用含m、n、、的代數式表示）．

13．（本題滿分14分）

對某乙個函式給出如下定義：若存在實數m >0，對於任意的函式值y，都滿足-m≤y≤m，則稱這個函式是有界函式，在所有滿足條件的m中，其最小值稱為這個函式的邊界值．例如，圖中的函式是有界函式，其邊界值是1．

（1）分別判斷函式(x>0)和y=x+1(-4（2）若函式y=-x+1(a≤x≤b，b>a)的邊界值是2，且這個函式的最大值也是2，求b的取值範圍；

（3）將函式(-1≤x≤m，m≥0)的影象向下平移m個單位，得到的函式的邊界值是t，當m在什麼範圍時，滿足≤t≤1？