1．設選用第1種、第2種、第3種、第4種、第5種飼料的量分別為。
min2．設xij為生產第i種食品所使用的第j種原料數，i＝1，2，3分別代表甲、乙、丙，j＝1，2，3分別代表a、b、c。其數學模型為：
max z =
s.t.
3．將下列線性規劃問題化為標準形式
（1）引入剩餘變數，鬆弛變數
max（2）令，，引入鬆弛變數
max4.（1）唯一最優解 =1.7143，＝2.1429，max =9.8571；（2）無可行解；
（3）無界解；（4）無可行解；（5）多重最優解，max z=66，其中乙個解為=4，＝6；
（6）唯一最優解，為=6.6667，＝2.6667，max =30.6667。
5．可行解：(a), (c), (e), (f) ；基本解：(a), (b), (f) ；基本可行解：(a), (f)
6.（1）標準型為：max
（2）至少有2個變數的值取零，因為有3個基本變數、2個非基本變數，非基本變數的取值為零。
（3）在這個線性規劃問題中，共有10種基本解。
（4）最優解x =（4，6，0，0，1）t，max z=74。
7．單純形法求解下列線性規劃問題
（1）（2）8．（1）a=7，b=-6，c=0，d=1，e=0，f=1/3，g=0；
（2）表中給出最優解x*＝（0 0 7 0 5 0）t。
9．用大m法求解結果：（1）無可行解；（2）最優解x*=（4 4）t，最優值為28；
（3）有無界解；（4）最優解為x*=（4，0，0）t，最優值為8。
1.（1）原問題的對偶問題為
s.t.
（2）原問題的對偶問題為
s.t.
（3）原問題的對偶問題為
s.t.
2．由教材表3-4與表3-5的對應關係，如圖可知b=（x4，x1，x2）列，b=（x4，x5，x6）列,
故b=，b-1=
因最終單純形表中非基變數的係數為bn，所以，
(x1*，x2*，x3*，b*)=b（n，b）=b-1(x1，x2，x3，b)
==檢驗數=c-cp=(0,0,-3/2,0,-3/2,-1/2)
3．原問題的對偶問題為
s.t.
由鬆弛互補性質可知，在最優性條件下， =0和=0，這裡（i=1,2），（j=1,2,3,4,5）分別為原問題的剩餘變數及對偶問題的鬆弛變數。
由=4/5>0, =3/5>0,利用互補鬆弛定理==0，得到==0,即原問題的兩個約束條件為等式約束條件。
將=4/5, =3/5代入對偶問題的約束條件，得到（2）式y1*-y2*=1/5<3，（3）式2y1*+3y2*=17/5<5，（4）式y1*+y2*=7/5<2，（2）、（3）、（4）三式為嚴格不等式，所以》0， >0， >0，再利用一次互補鬆弛定理
===0，得到===0。
根據上述結果，原約束可以轉化成二元一次線性方程組：
解方程組得x1*=x5*=1
綜上所得，原問題的最優解為x=(1,0,0,0,1)，相應的目標函式最優值為==5。
4.（1）將原問題化為標準形式為
s.t.
建立這個問題的單純形表並運算，具體見下表：
表中b列數字全為非負，檢驗數全為非正，故問題的最優解為
=(11/5,2/5,0,0,0)
若對應兩個約束條件的對偶變數分別為y1和y2，則對偶問題的最優解為
=(8/5,1/5,0,0,9/5)
（2）將原問題化為標準形式為：
s.t.
建立這個問題的單純形表並計算，過程見下表:
由上述**可以看出基變數x4行係數全為正，而其限定向量b卻存在負值，在x0,i=的情況下不可能成立，故此題無解。
原問題的對偶規劃如下：
s.t.
顯然，（0，0，0）為該對偶問題的可行解，則對偶問題為無界解。
5.（1）線性規劃原問題的最優解x*=（0，0，8，0，6）t
最優值==（12，0）=96
最優基b=
逆b-1=
（2）原問題的對偶問題為：
s.t.
對偶問題的最優解y*=（4，0，10，2，0）。
（3）若最優解不變，c3變化δc3，則變化後的最終單純形表為：
由上表可以看出，在最優解不變的情況下，需滿足下列不等式：
得到因此c3=12+6。
（4）由最終單純形表可知
=，而=，
易見b+=+=。
因最優基變數不變,知6+,故-6,
而b2*=b2+=30+24，因此，當b2*24時最優基變數不變。
（5）在原線性規劃的約束條件上，增加下面的約束條件x1+2x2+2x3,原問題變為：
s.t.
原最終單純形表新增一行和一列，見表。此時原最終單純形表中的x3和x5的係數不再是單位向量了，所以繼續進行行變換，保持原基變數不變。在行變換後得到的新單純形表中，檢驗數均小於等於零，但右端項出現負值，所以可用對偶單純形法繼續運算。
最後得最優解x*=(12/5,0,24/5,0,54/5,0)t，最優值z*=72。
6.（1）設y的係數增加了y，變化後的最優單純形表為：
因為保持最優生產計畫不改變，所以，需滿足下列不等式：
，故2y，所以，y的係數的變化範圍為y+2=（4/3，4）。
若產品b單位利潤由2變為5，超出了最優解的範圍，因此，會影響最優生產計畫。將5代入到最優單純形表，並繼續迭代，得：
此時的最優生產計畫為（x,y,z）=(0,50,0)
（2）由表最後三列可知b-1=，若不影響最優生產計畫，則需使+，即-100/3100。因為當原材料1的**從100單位降低至50個單位，超過了的範圍，故會影響最優生產計畫。
當b1=50時，可算出此時原最優單純形表中
b1*=+=
因為此時原問題變為非可行解，而其對偶問題為可行解,對此時的對偶單純形表繼續進行迭代：
此時最優生產計畫為（x,y,z）=(25,0,0).
（3）當藥品c的單位利潤消耗原材料1，2，3的工時由原來的4，6，2依次變為2，2，1時，變化後藥品c在最優單純形表中係數變為
c3*=b-1c3==此時的單純形表為：
有非基變數檢驗數為0，此時最優生產計畫為多重最優解，從上表中可得到兩個解(x,y,z)=(25,25,0)或(0,0,50)，最優值z*=150。
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