第四章目標規劃
前面的線性規劃問題，研究的都是只有乙個目標函式，若干個約束條件的最優決策問題．然而現實生活中，衡量乙個方案的好壞標準往往不止乙個，而且這些標準之間往往不協調，甚至是相互衝突的，標準的度量單位也常常各不相同．例如，在資源的最優利用問題中，除了考慮所得的利潤最大，還要考慮使生產的產品***，勞動生產率高，對市場的適應性強等等．目標規劃（goal programming）正是**性規劃的基礎上為適應這種複雜的多目標最優決策的需要，而從20世紀60年代初逐步發展起來的．它對眾多的目標分別確定乙個希望實現的目標值，然後按目標的重要程度（級別）依次進行考慮與計算，以求得最接近各目標預定數值的方案．如果某些目標由於種種約束不能完全實現，它也能指出目標值不能實現的程度以及原因，以供決策者參考．
第一節目標規劃的基本概念與數學模型
一、問題的提出
例4-1 某生物藥廠需在市場上採購某種原料，現市場上有甲、乙兩個等級，單價分別為2千元/kg和1千元/kg，要求採購的總費用不得超過20萬元，購得原料的總重量不少於100kg，而甲級原料又不得少於50kg，問如何確定最好的採購方案（即用最少的錢、採購最多數量的原料）．
分析：這是乙個含有兩個目標的數學規劃問題． 設分別為採購甲級、乙級原材料的數量（單位：kg），為花掉的資金，為所購原料總量．則：
目標函式為：
約束條件有：
若只考慮花錢最少，則顯然屬於線性規劃問題，由（4-1），（4-3）至（4-6）構成它的數學模型；若只考慮採購數量最多，也是乙個線性規劃問題，由式（4-2）至（4-6）構成它的數學模型，但現在兩者同時都要考慮．顯然是乙個多目標線性規劃問題．
例4-2 某工廠在計畫期內要生產甲、乙兩種產品，現有的資源及兩種產品的技術消耗定額、單位利潤如表4-1所示．試確定計畫期內的生產計畫，使利潤最大，同時廠領導為適應市場需求，盡可能擴大甲產品的生產，減少乙產品的生產，同時考慮這些問題，就形成多目標規劃問題．
分析:設分別是計畫期內甲、乙產品的產量．則該問題的數學模型為
對於這樣的多目標問題，線性規劃很難為其找到最優方案．極有可能出現：第乙個方案使第一目標的結果優於第二方案，而對於第二目標，第二方案優於第一方案．就是說很難找到乙個方案使所有目標同時達到最優，特別當約束條件中有矛盾方程時，線性規劃方法是無法解決的．實踐中，人們轉而採取「不求最好，但求滿意」的策略，**性規劃的基礎上建立一種新的數學規劃方法——目標規劃．
二、目標規劃的基本概念
我們不難得出多目標規劃問題的一般形式如下(簡記為：gp1)
4-7）
4-8）
矩陣表示為4-9)
其他情況：如目標函式為, 約束條件為「」，都可作適當的變換，調整為（4-9）的形式．下面也稱（4-9）式為目標規劃的標準型．
定義4-1 設, 稱為多目標線性規劃問題（簡記為gp1）的可行解集合或可行解域．
這個定義與線性規劃問題中可行解集定義完全一樣，因此，是乙個凸集．
定義4-2 設問題（gp1）的可行解集合非空，，且對任意的都有，則稱為問題（gp1）的最優可行解，簡稱最優解．
最優解實際上是使所有目標同時達到最優值，如圖4—1所示
圖4-1 目標規劃解集示意圖
但更多的情況是：由於多目標之間存在相互矛盾，最優解往往不可能存在，這就要求我們退而求其次，根據目標之間的相對重要程度，分等級和權重，求出相對最優解——有效解（滿意解），為此引入以下概念，對目標函式和約束條件作適當處理．
（一） 決策變數與偏差變數
決策變數也稱控制變數，用x1、x2、…、xn表示，如例4-1中的x1、x2等．
在多目標規劃問題中，由於目標之間存在衝突或約束條件中有矛盾方程，我們可以設想降低目標要求、「放鬆」嚴格的約束條件，即從實際出發，根據經驗、歷史資料或市場的需求、上級部門的任務下達等來給每個目標確定乙個希望達到的目標值ei, (i =1，2，…，m)．一般說來，這些值ei 的確定並不要求十分精確或嚴格，允許決策的實際值大於或小於ei．我們稱實際值與目標值的差距為偏差變數(deviation variable)．用表示．
——第i個目標的實際值超出目標值的部分，稱為正偏差變數．
——第i個目標的實際值不足目標值的差距，稱為負偏差變數．規定0, (i =1，2，…，m) ．
實際操作中，當目標值確定時，所做的決策只可能出現以下三種情況：即由所構成的3種不同組合表示的含義：①表示第i個目標的實際值超出目標值；②表示第i個目標的實際值未達到目標值；③表示第i個目標的實際值恰好等於目標值．並且無論發生哪種情況均有：
．如在例4-2中，若提出目標y1的期望值e1= 45000元，y2的期望值e2=250件，y3的期望值e3=200件，則可引入偏差變數（i =1，2，3）,表示利潤超過45000元的數量，則表示利潤距45000元還差的數量，表示甲產品產量超過250件的部分，……．這樣可得三個目標函式方程
4-10)
（二） 目標約束與絕對約束
前面通過確定各目標的目標值、引入偏差變數，把目標函式轉化成約束方程，從而併入原約束條件中，我們稱這類具有機動餘地的約束為目標約束(goal restrictions)．如例4-2的目標函式轉化為目標約束（4-10）．因它具有一定的彈性，一般目標約束不會不滿足，只是可能偏差要大一些，故也稱為軟約束．
絕對約束(absolute restrictions)是指必須嚴格滿足的等式或不等式約束，也稱為系統約束．它對應於線性規劃中的約束條件（如資源、客觀條件約束等），不能滿足絕對約束的解即為不可行解，因此也稱為硬約束．
在乙個規劃問題中，有時會因為資源的短缺等原因，在約束條件中出現互相矛盾的方程．此時，可行解集合是空集．應用一般的線性規劃方法，只能得出無解的結論．而在實際的決策問題裡，決策者需要採取一定的措施，或增加資源，或減少產量，綜合平衡各方面的因素，尋求可行的方案．而要找出哪種資源短缺，哪個產量指標過高，仍是解決問題的前提，採取一般的線性規劃單純形法解決這個問題顯得十分困難．而在目標規劃中，將比較容易解決這個問題． 我們設想將約束條件「放鬆」，對約束方程也引入偏差變數，使矛盾的方程不再矛盾！然後通過適當的方法，找出問題的關鍵，即需要增加的資源品種與數量或需降低的產品產量等，就會獲得較好的決策效果．這說明兩種約束在一定條件下可以轉換．
例如：在例4-2中，若再增加約束條件：甲、乙兩產品總的生產件數大於510，即：
，顯然它與約束條件中的：4x1+5x22000 矛盾！這樣解空間成了空集．但若對新加入的約束條件引入正、負偏差變數，可得約束方程
由於的作用，約束條件不再矛盾，可行解空間就非空了，我們便可應用後面介紹的方法求出相應的解，從而找出發生矛盾的關鍵因素及相應的數量，為進一步進行決策提供有力的依據．
當不易發現約束條件中是否有矛盾方程時，更一般的方法是對所有絕對約束都引入偏差變數，從而把約束條件全部變為等式．
（三） 目標規劃的目標函式
通過引入偏差變數，使原規劃問題中的目標函式變成了目標約束，那麼現在問題的目標是什麼呢？我們知道：對於滿足絕對約束和目標約束的所有解（即可行解），從決策者角度看，判斷其優劣的依據是決策值與目標值的偏差越小越好．從而目標規劃的目標函式就可由偏差變數構成．它有三種基本表現形式：
① 要求恰好達到目標值的，即正、負偏差變數都要盡可能小． 構造目標函式為：．② 要求不能超過目標值的，即允許達不到目標值，但即使超過，一定要越小越好．構造目標函式為：．③ 要求超過目標值的，即允許超過目標值，但即使不足，一定要使缺少量越少越好．構造目標函式為：
．這樣根據各個目標的不同要求，確定出總的目標函式
．如例4-2中的目標函式可表示為 ．
其完整的目標規劃模型為
（四） 優先因子與權係數
目標規劃中，當決策者要求實現多個目標時，這些目標的偏差可能相互替代或抵消，因為我們求的是所有偏差和最小，而實際問題中的目標之間也有主次、輕重、緩急之區別．決策者往往有一些最重要的，第一位要求達到的目標，我們賦予它優先因子(factor of priority )p1，在它實現的前提下再去解決次要目標．依次把第二位達到的目標賦予優先因子p2 ……，並規定pk pk+1，即不管pk+1乘以乙個多大的正數m，總成立pk>mpk+1,表示pk比pk+1具有絕對的優先權．因此，不同的優先因子代表著不同的優先等級．在實現多個目標時，首先保證p1級目標的實現，這時可不考慮其它級別目標，而p2級目標是在保證p1級目標滿足的前提下考慮的．決不能因為要使p2級目標更好地實現，而去降低p1級目標的實現值．一般地在目標規劃模型中，絕對約束相應的目標函式，其優先等級一定是p1級．
若要進一步區別具有相同優先順序的多個目標，則可分別賦予它們不同的權係數(可取一確定的非負實數)，根據目標的重要程度而給它們賦值，重要的目標，賦值較大，反之值就小．如例4-2中，我們可把利潤視作第一位重要，甲、乙產品的產量分配視作第二位，並且甲的產量越大越好，權重分別為10和2，則目標函式為：
由上面分析看到，目標規劃比起線性規劃來適應面要靈活得多．它可同時考慮多個目標，而且目標的計量單位也可以多種多樣．目標規劃的目標約束，給決策方案的選擇帶來很大的靈活性．並且由於目標規劃中劃分優先順序和權係數的大小，使決策者可根據外界條件變化，通過調整目標優先順序和權係數，求出不同方案以供選擇．但是，用目標規劃來處理問題也存在困難，主要表現在構造模型時需事先擬定目標值、優先順序和權係數，而這些資訊來自人的主觀判斷，往往帶有模糊性，很難定出乙個絕對的數值．
三、目標規劃的數學模型
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