高中數學中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉化過程中，沒有注意轉化的等價性，會經常出現錯誤。下面通過幾個例子，剖析致錯原因，希望能對同學們的學習有所幫助。
加強思維的嚴密性訓練。
● 忽視等價性變形，導致錯誤。
，但與不等價。
【例1】已知f(x) = ax +，若求的範圍。
●忽視隱含條件，導致結果錯誤。
【例2】
(1) 設是方程的兩個實根，則的最小值是
(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值範圍。
●忽視不等式中等號成立的條件，導致結果錯誤。
【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
●不進行分類討論，導致錯誤
【例4】(1)已知數列的前項和，求
(2)實數為何值時，圓與拋物線有兩個公共點。
●以偏概全，導致錯誤
以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現出思維的不嚴密性。
【例5】(1)設等比數列的前項和為.若，求數列的公比.
(2)求過點的直線，使它與拋物線僅有乙個交點。
《章節易錯訓練題》
1、已知集合m = ，n = ，則m∩n中元素個數是
(a) 0 (b) 0或1 (c) 0或2 (d) 0或1或2
2、已知a =，若a∩r* = ，則實數t集合t = ___。
3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恆成立，則實數k的取值範圍是
(a) －1≤k≤0 (b) －1≤k<0 (c) －14、命題＜3，命題＜0，若a是b的充分不必要條件，則的取值範圍是
（a） （b） （c） （d）
5、若不等式x2－logax<0在(0,)內恆成立，則實數的取值範圍是
(a) [,1] (b) (1c) (,1) (d) (,1)∪(1,2)
6、若不等式(－1)na < 2 +對於任意正整數n恆成立，則實數的取值範圍是
(a) [－2，] (b) (－2，) (c) [－3，] (d) (－3，)
7、已知定義在實數集上的函式滿足：；當時，；對於任意的實數、都有。證明：為奇函式。
8、已知函式f(x) =，則函式的單調區間是_____。
9、函式y =的單調遞增區間是________。
10、已知函式f (x)=， f (x)的反函式f －1(x)= 。
11、函式 f (x) = log (x 2 + a x + 2) 值域為 r，則實數 a 的取值範圍是 (a) (－2,2b) [－2,2]
(c) (－,－2)∪(2,+) (d) (－,－2)∪[2,+]
12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那麼2x+3y2的最小值為
（a）2 （b） （c） （d）0
13、函式y=的值域是________。
14、函式y = sin x (1 + tan x tan)的最小正週期是
(a) (b) (c) 2 (d) 3
15、已知 f (x) 是週期為 2 的奇函式，當 x [0,1] 時，f (x) = 2 x，則 f (log 23) =
(a) (b) (c) － (d) －
16、已知函式在處取得極值。
（1）討論和是函式的極大值還是極小值；
（2）過點作曲線的切線，求此切線方程。(2004天津)
17、已知tan (－)= －則tan
18、若 3 sin 2 + 2 sin 2 －2 sin = 0，則cos 2 + cos 2 的最小值是 。
19、已知sin + cos =， (0，)，則cot
20、在△abc中，用a、b、c和a、b、c分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a =2、、，則∠b =
（a） （b） （c） （d）
21、已知a>0 , b>0 , a+b=1，則(a +)2 + (b +)2的最小值是_______。
22、已知x ≠ k (k z)，函式y = sin2x +的最小值是______。
23、求的最小值。
24、已知a1 = 1，an = an－1 + 2n－1(n≥2)，則an
25、已知 －9、a1、a2、－1 四個實數成等差數列，－9、b1、b2、b3、－1 五個實數成等比數列，則 b2 (a2－a1) =
(a) －8 (b) 8cd)
26、已知 是等比數列，sn是其前n項和，判斷sk，s2k－sk，s3k－s2k成等比數列嗎？
27、已知定義在r上的函式和數列滿足下列條件：
，f(an)－f(an－1) = k(an－an－1)(n = 2,3,┄)，其中a為常數，k為非零常數。（1）令，證明數列是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）當時，求。
28、不等式m2－(m2－3m)i< (m2－4m + 3)i + 10成立的實數m的取值集合是________。
29、i是虛數單位，的虛部為（ ）
(a) －1 (b) －i (c) －3 (d) －3 i
30、求實數，使方程至少有乙個實根。
31、和a = (3,－4)平行的單位向量是和a = (3,－4)垂直的單位向量是
32、將函式y= 4x－8的圖象l按向量a平移到l/，l/的函式表示式為y= 4x，則向量a=______。
33、已知 ||＝1，||＝，若//，求·。
34、在正三稜錐a－bcd中，e、f是ab、bc的中點，ef⊥de，若bc = a，則正三稜錐a－bcd的體積為
35、在直二面角 －ab－ 的稜 ab 上取一點 p，過 p 分別在 、 兩個平面內作與稜成 45° 的斜線 pc、pd，那麼∠cpd的大小為
(a) 45 (b) 60 (c) 120 (d) 60 或 120
36、如圖，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是正方形，側稜pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中點，作ef⊥pb交pb於點f。
（1）證明pa//平面edb；
（2）證明pb⊥平面efd；
（3）求二面角c—pb—d的大小。
37、若方程+ y 2 = 1表示橢圓，則m 的範圍是_______。
38、已知橢圓+ y 2 = 1的離心率為，則 m 的值為 ____ 。
39、橢圓的中心在原點，對稱軸為座標軸，橢圓短軸的乙個頂點 b 與兩焦點 f1、f2 組成的三角形的周長為 4 + 2且∠f1bf2 =，則橢圓的方程是
40、橢圓的中心是原點o，它的短軸長為，相應於焦點f（c，0）（）的準線與x軸相交於點a，|of|=2|fa|，過點a的直線與橢圓相交於p、q兩點。
（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線pq的方程；
（3）設（），過點p且平行於準線的直線與橢圓相交於另一點m，證明。
41、 已知雙曲線的右準線為，右焦點,離心率,求雙曲線方程。
42、求與軸相切於右側，並與⊙也相切的圓的圓心
的軌跡方程。
43、（如圖3－2－2），具有公共軸的兩個直角座標平面和所成的二面角等於.已知內的曲線的方程是，求曲線在內的射影的曲線方程。
44、設橢圓的中心是座標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程。
《章節易錯訓練題》參***（注意事項）
1、 a(集合元素的確定性)
2、(空集)
3、c(等號)
4、c(等號)
5、a(等號)
6、a(等號)
7、 (特殊與一般關係)
8、遞減區間(－，－1)和(－1， +)（單調性、單調區間）
9、 [－，－1）（定義域）
10、（漏反函式定義域即原函式值域）
11、d(正確使用△≥0和△<0)
12、b(隱含條件)
131)∪(1,+∞) （定義域）
14、c （定義域）
15、d(對數運算)
16、（求極值或最值推理判斷不充分(建議列表)；求過點切線方程，不判斷點是否在曲線上。）
17、、（化齊次式）
18、(隱含條件)
19、－(隱含條件)
20、b(隱含條件)
21、(三相等)
22、5（三相等）
23、24、2n－1(認清項數)
25、a(符號)
26、當q = －1，k為偶數時，sk = 0，則sk，s2k－sk，s3k－s2k不成等比數列；
當q≠－1或q = －1且k為奇數時，則sk，s2k－sk，s3k－s2k成等比數列。
（忽視公比q = －1）
27、（等比數列中的0和1，正確分類討論）
28、(隱含條件)
29、c(概念不清)
30、31、(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)
32、a = (h，4h+8) (其中h r)(漏解)
33、①若，共向，則 ·＝||||＝，
②若，異向，則漏解)
34、a3 (隱含條件)
35、d(漏解)
36、(條件不充分(漏pa 平面edb，平面pdc，de∩ef = e等)；運算錯誤，銳角鈍角不分。)
37、 (0，1)∪(1，+ )(漏解)
38、4 或(漏解)
39、+ y 2 = 1或x 2 + = 1(漏解)
40、(設方程時漏條件a>，誤認短軸是b = 2；要分析直線pq斜率是否存在(有時也可以設為x = ky + b)先；對一元二次方程要先看二次項係數為0否，再考慮△>0，後韋達定理。)
41、42、即動圓圓心的軌跡方程是y2 = 12x(x>0)和。
43、所求射影的方程為
44、所求橢圓的方程為
高中數學易錯題
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