「會而不對，對而不全」一直以來成為制約學生數學成績提高的重要因素，成為學生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著至關重要的作用。本文結合筆者的多年高三教學經驗精心挑選學生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析並配以近幾年的高考試題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風破浪，實現自已的理想報負。
【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。
例1、 設，，若，求實數a組成的集合的子集有多少個？
【易錯點分析】此題由條件易知，由於空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產生漏解現象。
解析：集合a化簡得，
由知，故（ⅰ）當時，即方程無解，此時a=0符合已知條件
（ⅱ）當時，即方程的解為3或5，代入得或。
綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個。
【知識點歸類點拔】（1）在應用條件a∪b＝ｂa∩b＝ａａｂ時，要樹立起分類討論的數學思想，將集合ａ是空集φ的情況優先進行討論．
（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質「確定性、無序性、互異性」特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數學語言）和自然語言之間的轉化如：，，其中,若求r的取值範圍。
將集合所表達的數學語言向自然語言進行轉化就是：集合a表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合b表示以（3，4）為圓心，以r為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑r的取值範圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關係來解答。
此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應用。
【練1】已知集合、，若，則實數a的取值範圍是答案：或。
【易錯點2】求解函式值域或單調區間易忽視定義域優先的原則。
例2、已知,求的取值範圍
【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關於x的函式最值求解，但極易忽略x、y滿足這個條件中的兩個變數的約束關係而造成定義域範圍的擴大。
解析：由於，得(x+2)2=1-≤1，
∴-3≤x≤-1，從而x2+y2=-3x2-16x-12=+，
因此當x=-1時x2+y2有最小值1,
當x=-時，x2+y2有最大值。
故x2+y2的取值範圍是[1, ]
【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對x、y的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3≤x≤-1，。此外本題還可通過三角換元轉化為三角最值求解。
【練2】（05重慶卷）若動點（x,y）在曲線上變化，則的最大值為（ ）
（a） （b） （c）（d）
答案：a
[, , ]
例3、 是r上的奇函式，
（1）求a的值 （2）求的反函式
【易錯點分析】求解已知函式的反函式時，易忽略求解反函式的定義域即原函式的值域而出錯。
解析：（1）利用（或），求得a=1.
（2）由，即，
設,則，
由於，故，，
而，所以
【知識點歸類點拔】（1）在求解函式的反函式時，一定要通過確定原函式的值域即反函式的定義域在反函式的解析式後表明（若反函式的定義域為r可省略）。
（2）應用可省略求反函式的步驟，直接利用原函式求解但應注意其自變數和函式值要互換。
【練3】（2004全國理）函式的反函式是（ ）
ab、cd、
答案：b
【易錯點4】求反函式與反函式值錯位
例4、已知函式，函式的影象與的圖象關於直線對稱，則的解析式為（）
a、 b、 c、 d、
【易錯點分析】解答本題時易由與互為反函式，而認為的反函式是則==而錯選a。
解析：由得，從而
再求的反函式得。 正確答案：b
【知識點分類點拔】函式與函式並不互為反函式，他只是表示中x用x-1替代後的反函式值。這是因為由求反函式的過程來看：設則，
再將x、y互換即得的反函式為，故的反函式不是，因此在今後求解此題問題時一定要謹慎。
【練4】（2004高考福建卷）已知函式y=log2x的反函式是y=f-1(x)，則函式y= f-1(1-x)的圖象是（ ）
答案：b
[, , ]
例5、 判斷函式的奇偶性。
【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函式為非奇非偶函式的錯誤結論。
解析：由函式的解析式知x滿足
即函式的定義域為定義域關於原點對稱，
在定義域下易證，即函式為奇函式。
【知識點歸類點拔】（1）函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函式的奇偶性時一定要先研究函式的定義域。
（2）函式具有奇偶性，則是對定義域內x的恒等式。常常利用這一點求解函式中字母引數的值。
【練5】判斷下列函式的奇偶性：
① ② ③
答案：①既是奇函式又是偶函式 ②非奇非偶函式 ③非奇非偶函式
【易錯點6】易忘原函式和反函式的單調性和奇偶性的關係。從而導致解題過程繁鎖。
例6、 函式的反函式為，證明是奇函式且在其定義域上是增函式。
【思維分析】可求的表示式，再證明。若注意到與具有相同的單調性和奇偶性，只需研究原函式的單調性和奇偶性即可。
解析：，
故為奇函式從而為奇函式。
又令在和上均為增函式且為增函式，
故在和上分別為增函式。
故分別在和上分別為增函式。
【知識點歸類點拔】對於反函式知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函式必有反函式。（2）奇函式的反函式也是奇函式且原函式和反函式具有相同的單調性。
（3）定義域為非單元素的偶函式不存在反函式。（4）週期函式不存在反函式（5）原函式的定義域和值域和反函式的定義域和值域到換。即 。
【練6】（1）（99全國高考題）已知 ，則如下結論正確的是（ ）
a、 是奇函式且為增函式b、 是奇函式且為減函式
c、 是偶函式且為增函式d、 是偶函式且為減函式
答案：a
（2）（2005天津卷）設是函式的反函式，則使成立的的取值範圍為（ ）a、 b、 c、 d、
答案：a （時，單調增函式，所以.）
【易錯點7】證明或判斷函式的單調性要從定義出發，注意步驟的規範性及樹立定義域優先的原則。
例7、試判斷函式的單調性並給出證明。
【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函式的單調性必須依據函式的性質解答。特別注意定義中的的任意性。以及函式的單調區間必是函式定義域的子集，要樹立定義域優先的意識。
解析：由於即函式為奇函式，
因此只需判斷函式在上的單調性即可。
設 ，由於 ，
故當時，此時函式在上為增函式，
同理可證函式在上為減函式。
又由於函式為奇函式，
故函式在為減函式，在為增函式。
綜上所述：函式在和上分別為增函式，
在和上分別為減函式.
【知識歸類點拔】（1）函式的單調性廣泛應用於比較大小、解不等式、求引數的範圍、最值等問題中，應引起足夠重視。
（2）單調性的定義等價於如下形式：在上是增函式，在上是減函式，這表明增減性的幾何意義：增（減）函式的圖象上任意兩點連線的斜率都大於（小於）零。
（3）是一種重要的函式模型，要引起重視並注意應用。但注意本題中不能說在上為增函式，在上為減函式,在敘述函式的單調區間時不能在多個單調區間之間新增符號「∪」和「或」，
【練7】（1） （濰坊市統考題）（1）用單調性的定義判斷函式在上的單調性。
（2）設在的最小值為，求的解析式。
答案：（1）函式在為增函式在為減函式。（2）
（2） （2001天津）設且為r上的偶函式。
（1）求a的值（2）試判斷函式在上的單調性並給出證明。
答案：（1）（2）函式在上為增函式（證明略）
【易錯點8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。
例8、（2004全國高考卷）已知函式上是減函式，求a的取值範圍。
【易錯點分析】是在內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在r上遞減，但。
解析：求函式的導數
（1）當時，是減函式，則，故，解得。（2）當時，易知此時函式也在r上是減函式。
（3）當時，在r上存在乙個區間在其上有，
所以當時，函式不是減函式，
綜上，所求a的取值範圍是。
【知識歸類點拔】若函式可導，其導數與函式的單調性的關係現以增函式為例來說明：
①與為增函式的關係:能推出為增函式，但反之不一定。
如函式在上單調遞增，但，
∴是為增函式的充分不必要條件。
②時，與為增函式的關係:
若將的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函式，就一定有。
∴當時，是為增函式的充分必要條件。
③與為增函式的關係:為增函式，一定可以推出，但反之不一定，
因為，即為或。
當函式在某個區間內恒有，則為常數，函式不具有單調性。
∴是為增函式的必要不充分條件。
函式的單調性是函式一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關係，用導數判斷好函式的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。
因此本題在第一步後再對和進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性。
【練8】（1）（2003新課程）函式是是單調函式的充要條件是（ ）
abcd、
答案：a
（2）是否存在這樣的k值，使函式在上遞減，在上遞增？
答案：。（提示據題意結合函式的連續性知，但是函式在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出k值後要檢驗。）
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