妙用單位圓求解三角函式問題

陝西劉大鳴梁傑

引入單位圓中的三角函式線，為解決三角中的縮小角的範圍、解或證明三角不等式、推導三角公式、求值及研究方程根的問題等提供了有利的工具.正確使用單位圓、座標軸和象限角平分線，將直角座標平面分為八個區域，簡稱「八卦」（如圖）.各卦所在區上三角函式單調性和媒介值已知，利用三角函式線和八卦圖可簡捷的找到三角問題的解題思路.

一用單位圓縮小角的範圍。

如何縮小角的範圍呢？凡是看到角和三角函式值，馬上將角的終邊納入「八卦圖」中縮小角的範圍.

例1（94高考）已知，則

簡析：若用單位圓和三角函式線及「八卦圖」，注意填空題的特徵，借助八卦圖取特殊值使問題簡單.由三角函式線和「八卦圖」及知，，取，則.

二妙用單位圓證明三角公式。

例2 求證.

簡證：如圖，作於，於，於，，易證，由三角函式線定義有.

即.三妙用單位圓解三角不等式。

例3 若，求的範圍.

簡析:在八卦圖中滿足條件的的終邊落在2、3、6、7卦限內，並在一起的解集為

四用單位圓證明三角不等式。

例4 設為銳角，求證.

簡析：如圖，構造單位圓中的三角函式線，數形結合利用圖形面積的關係易證.設角終邊與單位圓交於，過作於；於， ，在中，即,而.

且知四邊形oapb被扇形oab所覆蓋，所以，即②，由①、②得，.

五妙用單位圓研究方程根的問題。

例5若方程在內有相異實數根和，求的範圍及的值。

簡析：借助輔助角分類研究（注意解的對稱性）原方程化為，在單位圓中用三角函式解決.，則，，而方程有相異的兩個實數根，則或，於是

當時，即時，根和關於對稱，所以，即；當時，即時，根和關於對稱，所以，即.綜合有或；或.

妙用單位圓求解三角函式問題

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