數學悖論與三次數學危機
數學悖論動搖了人們對數學可靠性的信仰，數學史上曾經發生了三次數學危機。數學悖論的產生和危機的出現，不單給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望，促進了數學的繁榮。危機產生、解決、又產生的無窮反覆過程，不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程。
關鍵詞：數學悖論；數學危機；畢達哥拉斯悖論；貝克萊悖論；羅素悖論
數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，數學發展從來不是完全直線式的，他的體系不是永遠和諧的，而常常出現悖論。悖論是指在某一一定的理論體系的基礎上，根據合理的推理原則，推出了兩個互相矛盾的命題，或者是證明了這樣乙個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式[1]。數學悖論在數學理論中的發展是一件嚴重的事，因為它直接導致了人們對於相應理論的懷疑，而如果乙個悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及到整個學科的基礎時，這種懷疑情緒又可能發展成為普遍的危機感，特別是一些重要悖論的產生自然引起人們對數學基礎的懷疑以及對數學可靠性信仰的動搖。
數學史上曾經發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。本文回顧了歷史上發生的三次數學危機，重點介紹了三次數學危機對數學發展的重要作用。
1畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機
1.1第一次數學危機的內容
西元前六世紀，在古希臘學術界佔統治地位的畢達哥拉斯學派，其思想在當時被認為是絕對權威的真理，畢達哥拉斯學派倡導的是一種稱為「唯數論」的哲學觀點，他們認為宇宙的本質就是數的和諧[2]。他們認為萬物皆數，而數只有兩種，就是正整數和可通約的數（即分數，兩個整數的比）， 除此之外不再有別的數，即是說世界上只有整數或分數。
畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理[3]，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關係，即a2=b2+c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。
然而不久畢達哥拉斯學派的乙個學生希伯斯很快便發現了這個論斷的問題。他發現邊長相等的正方形其對角線長並不能用整數或整數之比來表示。假設正方形邊長為1，並設其對角線長為d，依勾股定理應有d2=12+12=2，即d2=2，那麼d是多少呢？
顯然d不是整數，那它必是兩整數之比。希伯斯花了很多時間來尋找這兩個整數之比，結果沒找著，反而找到了兩數不可通約性的證明[4]，用反證法證明如下：設rt△abc，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有c2=2a2，設已將a和c中的公約數約去，即a、c已經互素，於是c為偶數，a為奇數，不妨令c=2m，則有(2m)2=2a2，a2=2m2，於是a為偶數，這與前面已證a為奇數矛盾。
這一發現歷史上稱為畢達哥拉斯悖論。
1.2第一次數學危機的影響
畢達哥拉斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，「數即萬物」的世界觀被極大的動搖了,有理數的尊崇地位也受到了挑戰，因此也影響到了整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數學危機。
第一次數學危機的影響是巨大的，它極大的推動了數學及其相關學科的發展。首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之後，許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了乙個含有有理數和無理數的新的數類——實數，並建立了完整的實數理論[5]，為數學分析的發展奠定了基礎。再者，第一次數學危機表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，並由此建立了幾何公理體系。
歐氏幾何就是人們為了消除矛盾，解除危機，在這時候應運而生的[6]。第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展,使幾何學在此後兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。
2貝克萊悖論與第二次數學危機
2.1第二次數學危機的內容
公元17世紀，牛頓和萊布尼茲創立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現象，它在自然科學的理論研究和實際應用中的重要作用引起人們高度的重視。然而，因為微積分才剛剛建立起來，這時的微積分只有方法，沒有嚴密的理論作為基礎，許多地方存在漏洞，還不能自圓其說。
例如牛頓當時是這樣求函式y＝xn的導數的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n·xn-1·△x＋[n（n+1）/2]·xn-2·(△x)2＋……＋（△x）n，然後用自變數的增量△x除以函式的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n·xn-1＋[n（n-1）/2] ·xn-2·△x＋……＋n·x·（△x）n-2＋（△x）n-1，最後，扔掉其中含有無窮小量△x的項，即得函式y=xn的導數為y′=nxn-1。
對於牛頓對導數求導過程的論述，哲學家貝克萊很快發現了其中的問題，他一針見血的指出：先用△x為除數除以△y，說明△x不等於零，而後又扔掉含有△x的項，則又說明△x等於零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無窮小是「逝去的量的鬼魂」，他認為微積分是依靠雙重的錯誤得到了正確的結果，說微積分的推導是「分明的詭辯」。
[8]這就是著名的「貝克萊悖論」。
確實，這種在同一問題的討論中，將所謂的無窮小量有時作為0，有時又異於0的做法，不得不讓人懷疑。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？
貝克萊悖論的出現危及到了微積分的基礎，引起了數學界長達兩個多世紀的論戰，從而形成了數學發展史中的第二次危機。
2.2第二次數學危機的影響[8]
第二次數學危機的出現，迫使數學家們不得不認真對待無窮小量△x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機，無數人投入大量的勞動。在初期，經過尤拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進展；從19世紀開始為徹底解決微積分的基礎問題，柯西、外爾斯特拉斯等人進行了微積分理論的嚴格化工作。微積分內在的根本矛盾，就是怎樣用數學的和邏輯的方法來表現無窮小，從而表現與無窮小緊密相關的微積分的本質。
在解決使無窮小數學化的問題上，出現了羅比達公理：乙個量增加或減少與之相比是無窮小的另乙個量，則可認為它保持不變。而柯西採用的ε－δ方法刻畫無窮小，把無窮小定義為以0為極限的變數，沿用到今，無窮小被極限代替了。
後來外爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎之上了。極限的ε－δ定義就是用靜態的ε－δ刻畫動態極限，用有限量來描述無限性過程，它是從有限到無限的橋梁和路標，它表現了有限與無限的關係，使微積分朝科學化、數學化前進了一大步。極限理論的建立加速了微積分的發展，它不僅在數學上，而且在認識論上也有重大的意義。
後來在考查極限理論的基礎中，經過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產生了實數理論；在考查實數理論的基礎時，康托爾又創立了集合論。這樣有了極限理論、實數理論和集合論三大理論後，微積分才算建立在比較穩固和完美的基礎之上了，從而結束了二百多年的紛亂爭論局面，進而開闢了下乙個世紀的函式論的發展道路。
3羅素悖論與第三次數學危機
3.1第三次數學危機的內容
在前兩次數學危機解決後不到30年即19世紀70年代,德國數學家康托爾創立了集合論,集合論是數學上最具革命性的理論,初衷是為整個數學大廈奠定堅實的基礎。2023年，在巴黎召開的國際數學家會議上，法國大數學家龐加萊興奮的宣布[9]：「我們可以說，現在數學已經達到了絕對的嚴格。
」然而，正當人們為集合論的誕生而歡欣鼓舞之時,一串串數學悖論卻冒了出來，又攪得數學家心裡忐忑不安,其中英國數學家羅素2023年提出的悖論影響最大,「羅素悖論」的內容是這樣的：設集合b是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問：b是否屬於b？
若b屬於b，則b是b的元素，於是b不屬於自身，即b不屬於b；反之，若b不屬於b，則b不是b的元素，於是b屬於自己，即b屬於b。這樣，利用集合的概念，羅素匯出了——集合b不屬於b當且僅當集合b屬於b時成立的悖論。之後，羅素本人還提出了羅素悖論的通俗版本，即理髮師悖論[10]。
理髮師宣布了這樣一條原則：他只為村子裡不給自己刮鬍子的人刮鬍子。那麼現在的問題是，理髮師的鬍子應該由誰來刮？。
如果他自己給自己刮鬍子，那麼他就是村子裡給自己刮鬍子的人，根據他的原則，他就不應給自己刮鬍子；如果他不給自己刮鬍子，那麼他就是村子裡不給自己刮鬍子的人，那麼又按他的原則他就該為自己刮鬍子。同樣有產生了這樣的悖論：理髮師給自己刮鬍子當且僅當理髮師不給自己刮鬍子。
這就是歷史上著名的羅素悖論。羅素悖論的出現，動搖了數學的基礎，震撼了整個數學界，導致了第三次數學危機。
3.2第三次數學危機的影響
羅素悖論的出現，動搖了本來作為整個數學大廈的基礎——集合論，自然引起人們對數學基本結構有效性的懷疑。羅素悖論的高明之處，還在於它只是用了集合的概念本身，而並不涉及其它概念而得出來的，使人們更是無從下手解決。羅素悖論導致的第三次數學危機，使數學家們面臨著極大的困難。
數學家弗雷格在他剛要出版的《論數學基礎》卷二末尾就寫道[11]：「對一位科學家來說，沒有一件比下列事實更令人掃興：當他工作剛剛完成的時候，它的一塊基石崩塌下來了。
在本書的印刷快要完成時，羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地。」可見第三次數學危機使人們面臨多麼尷尬的境地。然而科學面前沒有人會迴避，數學家們立即投入到了消除悖論的工作中，值得慶幸的是，產生羅素悖論的根源很快被找到了，原來康托爾提出集合論時對「集合」的概念沒有做必要的限制，以至於可以構造「一切集合的集體」這種過大的集合而產生了悖論。
為了從根本上消除集合論**現的各種悖論，特別是羅素悖論，許多數學家進行了不懈的努力。如以羅素為主要代表的邏輯主義學派[12]，提出了型別論以及後來的曲折理論、限制大小理論、非類理論和分支理論，這些理論都對消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德國數學家策梅羅提出的集合論的公理化，策梅羅認為，適當的公理體系可以限制集合的概念，從邏輯上保證集合的純粹性，他首次提出了集合**理系統，後經費蘭克爾、馮·諾伊曼等人的補充形成了乙個完整的集合**理體系（zfc系統）[5]，在zfc系統中，「集合」和「屬於」是兩個不加定義的原始概念，另外還有十條公理。zfc系統的建立，使各種矛盾得到迴避，從而消除了羅素悖論為代表的一系列集合悖論，第三次數學危機也隨之銷聲匿跡了。
儘管悖論消除了，但數學的確定性卻在一步一步喪失，現代公理集合論一大堆公理是在很難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的，所以第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續[7]。為了消除第三次數學危機，數理邏輯也取得了很大發展，證明論、模型論和遞迴論相繼誕生，出現了數學基礎理論、型別論和多值邏輯等。可以說第三次數學危機大大促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性，而且也因此直接造成了數學哲學研究的「**時代」。
數學的三次危機 第三次數學危機
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