一、選擇題（每小題6分，共60分）
1．的值是（ ）
a 2000 b 1 cd
2．是有理數，則的值不能是（ ）
a 1b c 0d
3．若等於（ ）
a b c d
4．已知：，則（ ）
a b
c c
5．已知：則（ ）
ab 3cd 1
6．某種商品若按標價的八折**，可獲利20%，若按原標價**，則可獲利（ ）
a 25% b 40% c 50% d 66.7%
7．如圖，長方形abcd中，e是ab的中點，f是bc上的一點，且，
則長方形abcd的面積是陰影部分面積的（ ）倍。
a 2 b 3 c 4 d 5
8．若四個有理數滿足：，則的大小關係是（ ）
a b
c d
9．if，then the equation for has （ ）
a only one rootb no root.
c infinite roots(無窮多個根). d only one root or no root.
10．小明編制了乙個計算程式。當輸入任一有理數，顯示屏的結果總等於所輸入有理數的平方與1之和。若輸入，並將所顯示的結果再次輸入，這時顯示的結果應當是（ ）
a 2b 3c 4d 5
二、a組填空題（每題6分，共60分）
11．用科學計數法表示2150000
12．乙個角的補角的等於它的餘角，則這個角等於______度。
13．有理數在數軸上的位置如圖所示：
若 14．如圖，在長方形abcd中，e是ad的中點，f是ce的中點。若的面積為6平方厘公尺，則長方形abcd的面積是________平方厘公尺。
15．的相反數是，的相反數是，則。
16．suppose(設) a spends 3 days finishing of job,b 4 days doing of it. now if a and b work together, it will take ____ days for them to finish it.
17．某商店將某種超級vcd按進價提高35%，然後打出「九折酬賓，外送50元計程車費」的廣告。結果每台超級vcd仍獲利208元。那麼每台超級vcd的進價是________元。
18．如圖，c是線段ab上的一點，d是線段cb的中點。已知圖中所有線段的長度之和為23，線段ac的長度與線段cb的長度都是正整數，則線段ac的長度為_____。
19．張先生於2023年7月8日**2023年中國銀行發行的5年期國庫券1000元。回家後他在存單的背面記下了當國庫券於2023年7月8日到期後他可獲得的利息為390元。若張先生計算無誤的話，則該種國庫券的年利率是_______。
20．甲、乙分別自a、b兩地同時相向步行，2小時後在中途相遇。相遇後，甲、乙步行速度都提高了1千公尺/小時。當甲到達b地後立刻按原路返向a返行，當乙到達a地後也立刻按原路返向b地返行。
甲乙二人在第一次相遇後3小時36分鐘又再次相遇。則a、b兩地的距離是________千公尺。
三、b組填空題（每題6分，共30分）
21．有理數中，絕對值小於1的數共有____個；所有正數的平方和等於
22．若是同類項，則
23．設為大於0的整數，且。（1）如果的最大公約數為15，則（2）如果的最小公倍數為45，則
24．若是兩兩不等的非0數碼。按逆時針箭頭指向組成的兩位數都是7的倍數。則可組成三位數共____個；其中的最大的三位數與最小的三位數的和等於_______。
25．某書店積存了畫片若干張。按每張5角**，無人買。現決定按成本價**，一下子全部售出。共賣了31元9角3分。則該書店積存了這種畫片張，每張成本價_______元。
2023年度初一第一試「希望盃」全國數學邀請賽答案：
一、選擇題
1. 由-1的偶次方為正1,-1的奇次方為負1可得(-1)2000=1,所以應選(b).
2. ∵a是有理數, ∴不論a取任何有理數,的值永遠不會是0. ∴選(c).但要注意當選(d)時,這個式子本身無意義, ∴不能選(d).故選(c)是正確的.
3.∵ a<0,∴│a│=-a,
∴ 2000a+11│a│=2000a-11a=1989a,所以應選(d).
4.由同類項的定義可知,當a=2,b=3時,(a)為:2x3y2和3m2n2,顯然不是同類項.
(b)為3x2y3和3x3y3 , ∵x2與x3不同,所以也不是同類項.(c)為3x2×2+1y4和3x5y3+1 ,即3x5y4和3x5y4,∴ (c)是同類項,故應是(c).
(d)為5m2×3n5×2=5m6n10和6n2×3m5×2=6n6m10,顯然也不是,所以本題的答案應為(c).
5.∵ a=-,
b=,c=,∴ abc=(-1)×(-1)×(-1)=-1,故應選(a).
6.設某種商品的標價為x,進價為y.由題意可得:
80%x=(1+20%)y
解之得 x=y .
∴,這就是說標價是進價的1.5倍,
所以若按標價**可獲利為,即是進價的50%,所以應選(c).
7.設長方形abcd的長為a,寬為b,則其面積為ab.在△abc中, ∵ e是ab的中點,
∴ be=b,又∵以fc=a,∴ bf=a,
∴ △ebf的面積為,但△abc的面積=,
∴陰影部分的面積==,
∴ 長方形的面積是陰影部分面積的3倍,故應選(b).
8.由,
可知a-1997=b+1998=c-1999=d+2000,由這個連等式可得:a>b,ad;bd,c>d,由此可得c>a>b>d,故應選(c).
9.由ax+b=0可得x=-,∵a2+b2>0,∴a、b不會同時為0,當a=0時,方程無解;當a≠0時,方程有惟一的解x=-,所以應選(d).
10.因為當輸入任一有理數,顯示屏的結果總等於所輸入有理數的平方與1 之和,所以若輸入-1,則顯示屏的結果為(-1)2+1=2,再將2輸入,則顯示屏的結果為22+1=5 ,故應選擇(d).
二、a組填空題
11.∵ 2150000=2.16× 106
∴ 用科學計數法表示2150000=2.15×106 .
12.設這個角的度數為x,則它的余為90°-x,它的補角為(180°-x). 由題意知,
(180°-x)=90°-x
解之得 x=45
∴ 這個角等於45度.
13.由圖示可知,b0,
∴ │a+b│=-(a+b),│b-1│=1-b,│a-c│=c-a,│1-c│=1-c,
∴ 1000n=1000×(-a-b-1+b-c+a-1+c)
1000×(-2)
2000
14.如圖所示.設這個長方形abcd的長為a厘公尺,寬為b厘公尺.
即bc=a,ab=b,則其面積為ab平方厘公尺.∵ e為ad的中點,f為ce的中點,∴過f作fg⊥cd,fq⊥bc且分別交cd於g、bc於q,則fq=cd=b,fg=a.
因△bfc的面積=bc·fq=a·b,同理△fcd的面積=·b·a,
∴△bdf的面積=△bcd的面積-( △bfc的面積+△cdf的面積),即
6=ab-(ab+ab)= ab
∴ ab=48.
∴ 長方形abcd的面積是48平方厘公尺.
15.∵ a的相反數是2b+1,b的相反數是3a+1,由此可得:
解之得 a=-,b=-.
∴a2+b2=.
16.設a、b一起工作需要x天完成這件工作.由題意知,a的工作效率為,b的工作效率為,根據題意可列方程為
解之得 x=4.
∴ a and b work together,it will take 4 days for them to finish it.
17.設每台超級vcd的進價為x元,則按進價提高35%,然後打出「九折」的**價每台為x·(1+35%)×90%元,由題意可列方程為:
x·((1+35%)×90%-50=x+208
1.35×0.9x=x+258
0.215x=258
x=1200
∴ 每台超級vcd的進價是1200元.
18.由圖知,圖中共有六條線段,即ac、ad、ab、cd、cb、db.又因d是cb 的中點,
所以cd=db,cb=2cd,ab=ac+2cd,ad=ac+cd,由題意可得
ac+ad+ab+cd+cb+db=23,即
ac+ac+cd+ac+2cd+cd+2cd+cd=23,也即
3ac+7cd=23
∴ ac=,
∵ ac是正整數,∴ 23-7cd∣3的條件是cd=2,也即23-7cd=9時,能被3整除, ∴ac=3.
19.設該國庫券的年利率為x,則由題意可列方程:
1000×5×x=390
解之得 x=7.8%
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