2023年度（第十屆）初一第二試
一、選擇題:(每小題6分,共60分)以下每題的四個結論中,僅有乙個是正確的,請將表示正確答案的英文本母填在每題後面的圓括號內.
1.的相反數是( ).
(a)1999 (b)-1999 (c)-; (d)
2.已知a、b、c都是負數,並且│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,則xyz是( ).
(a)負數 (b)非負數 (c)正數 (d)非正數
3.下面四個命題中正確的是( ).
(a)相等的兩個角是對頂角
(b)和等於180°的兩個角是互為鄰補角
(c)連線兩點的最**是過這兩點的直線
(d)兩條直線相交所成的四個角都相等,則這兩條直線互相垂直
三個有理數在數軸上的位置如圖所示,則( ).
(a); (b)
(c); (d)
5.7-a的倒數的相反數是-2,那麼a=( ).
(a)9 (b)7.5 (c)5 (d)6.5
6.乙個角的補角的是6°,則這個角是( ).
(a)68° (b)78° (c)88° (d)98°
7.如果ac<0,那麼下面的不等式: <0;ac2<0;a2c<0;c3a<0;ca3<0中,必定成立的有( )
(a)1個 (b)2個 (c)3個 (d)4個
8.不超過100的所有質數的乘減去不超過60且個位數字為7的所有質數的乘積所得之差的個位數字是( ).
(a)3 (b)1 (c)7 (d)9
9.已知0≤a≤4,那麼│a-2│+│3-a│的最大值等於( ).
(a)1 (b)5 (c)8 (d)3
10.若n是奇自然數,a1,a2, …,an是n個互不相同的負整數,則( ).
(a)(a1+1)(a2+2)…(an+n) 是正整數; (b) (a1-1)(a2-2)…(an-n) 是正整數.
(c)是正數; (d)是正數.
二、填空題(每小題6分,共60分)
11.如圖,線段ab= bc= cd= de= 1 厘公尺, 那麼圖中所有線段的長度之和等於______厘公尺.
12. =__
是長方形abcd的對角線bd上的一點,m為線段pc的中點.如果三角形apb的面積是2平方厘公尺,則三角形bcm的面積等於平方厘公尺.
14.五位數能被3,7和11整除,則x2-y2
15.如圖,om平分∠aob,on平分∠cod.若∠mon=50°,
∠boc=10°,則∠aod
16.三個不同的質數,a,b,c滿足abbc+a=200,則a+b+c=_______.
17.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數中選出五個組成五位數,
使得這個五位數都被3,5,7,13整除.這樣的五位數中最大的是
兩個港口相距300公里.若甲船順水自a駛向b,乙船同時自b 逆水駛向a,兩船在c處相遇.若乙船順水自a駛向b,甲船同時自b逆水駛向a,則兩船於d 處相遇,c、d相距30公里.
已知甲船速度為27公里/小時,則乙船速度是______公里/ 小時.
19.已知x=1999,則∣4x2-5x+9∣-4∣x2+2x+2∣+3x+7
20.甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加推鉛球比賽,通過抽籤決定出賽順序. 在未公布順序前每人都對出賽順序進行了猜測.
甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:
甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四.
老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中,則出賽順序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.
三、解答題:(每小題15分,共30分)要求:寫出推算過程.
21.乙個長方形如圖所示恰分成六個正方形,其中最小的正方形面積是1 平方厘公尺.求這個長方形的面積.
22.已知一組兩兩不等的四位數,它們的最大公約數是42, 最小公倍數是90090.問這組四位數最多能有多少個?它們的和是多少?
2023年度初一第二試「希望盃」全國數學邀請賽答案：
一、選擇題
1.根據相反數的定義,的相反數是-,選(c).
2.由絕對值定義│x-a│≥0,│y-b│≥0,│z-c│≥0.而已知│x-a│+│y-b│+│z-c│=0,當且僅當│x-a│=│y-b│=│z-c│=0,即x=a且y=b且z=c.
已知a, b,c均為負數,則x,y,z均為負數,因此xyz是負數.選(a).
3.如圖8,∠aoc=∠boc=90°,但∠aoc與∠boc不是對頂角,排除(a).
如圖9,a∥b,同旁內角∠1+∠2=180°,但∠1與∠2並非互為鄰補角,排除(b).
兩點之間最短距離是連線這兩點的線段,不能表述為過這兩點的直線,排除( c).因此應選(d).事實上,(d)正是兩條直線互相垂直的定義.
4.由圖10可見c
由①有由②有
由②知,應排除(d),由及④可知應排除(a).由及③可知應排除(c), 肯定(b),所以應選(b).
5.7-a的倒數是,的相反數是-.依題意列方程:.
解得:a=6.5,選(d)
6.設這個角為a,a的補角等於180°-a,其為,依題意它是6°,
所以=6°. 解得α=78°.選(b).
7.由ac<0,可知a≠0,c≠0,a,c符號相反.所以<0,而a2>0,c2>0,因此a2·ac<0,ca3<0,且c2ac<0,c3a<0.
若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a2·c=1>0;
若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a·c2=1>0;
可見,ac2<0,a2c<0 不一定成立.
所以ac<0時,只有<0,c3a<0,ca3<0 三個不等式必然成立.選(c).
8.不超過1000的所有質數中包含質數2與5,所以不超過100的所有質數的乘積個位數字是0.不超過60的個位數字是7的質數只有7,17,37,47四個,其乘積的末位數字是1,所以,不超過100的所有質數的乘積減去不超過60的個位數字為7 的所有質數的乘積所得差的個位數字為9.
選(d).
9.①當0≤a≤2時,
│a-2│+│3-a│=2-a+3-a=5-2a≤5,當a=0時達到最大值5.
②當2 │a-2│+│3-a│=a-2+3-a=1
③當3 │a-2│+│3-a│=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.當a=4時,達到最大值3.
綜合①、②、③的討論可知,在0≤a≤4上,│a-2│+│3-a│的最大值是5,選(b).
是n個互不相同的負整數,其中n是奇自然數.
若a1=-1,a2=-2,a3=-3,…,an=-n,時,(a1-1)(a2-2)…(an-n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)n2×4×6×…×(2n)<0(因為n是奇數),故排除(b).
若a1=-1時, =0,故,排除(c).故選(d).
實事上,若a1<0, a2<0,…, an<0,則,
所以,所以》0,故選(d).
二、填空題
11.圖中,長為1厘公尺的線段共4條,長為2厘公尺的線段共3條,長為3 厘公尺的線段共2條,長為4厘公尺的線段僅1條.
圖中所有線段長度之和為
1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘公尺).
12.設s=,
又s=,
相加得 2s=1+2+3+4+…+49,
又 2s=49+48+47+…+2+1,
相加得 4s=50×49=2450,
故 s=612.5
13.根據題意畫圖,如圖12所示.連線ac交bd於o,則△abo的面積等於△cbo 的面積,△apo的面積等於△cpo的面積.
因此,△abp的面積等於△cbp的面積,所以由△apb面積是2平方厘公尺,可知△cbp面積是2平方厘公尺.而bm是△cbp的一條中線,三角形中線平分三角形的面積,所以△bcm的面積等於1平方厘公尺.
14.由於五位數能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除.
試除知 231×230=53130
231×231=53361
231×232=53592
231×233=53823
231×234=54054
可見x=2,y=
15.如圖13:∠aod=∠aob+∠boc+∠cod
2∠mob+∠boc+2∠con
2(∠mob+∠boc+∠con)-∠boc
2∠mon-∠boc
2×50°-10°
90°16.易知a(bbc+1)=2000=24×53.
若a=5,則bbc+1=400,
∴bbc=399=3×133=3×7×19
無論c=3,7或19都不能求得質數b,故a≠5.
只能取a=2,此時bbc+1=1000,
∴ bbc=999=33×37,則b=3,c=37,
因此,a+b+c=2+3+37=42.
17.所求五位數能被3、5、7、13整除,當然也能被3、5、7、13的最小公倍數整除.即這個五位數是3×5×7×13=1365的倍數.
通過除法,可算出五位數中1365的最大倍數是73×1365=99645.
但99645的五個數碼中有兩個9,不合題意要求,可依次算出
72×1364=98280(兩個8重複,不合要求).
71×1365=96915(兩個9重複,不合要求).
70×1365=95550(三個5重複,不合要求).
69×1365=94185(五個數碼不同).
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