自測題答案
自測題一
所以 x=5000(元)．
所以s的末四位數字的和為1＋9＋9＋5=24．
3．因為
時，a-b≥0，即a≥b．即當b≥a＞0或b≤a＜0時，等式成立．4．設上坡路程為x千公尺，下坡路程為y千公尺．依題意則
有 由②有2x+y=20
由①有y=12-x．將之代入③得
2x+12-x=20．
所以 x=8(千公尺)，於是y=4(千公尺)．
5．第n項為
所以6．設p=30q＋r，0≤r＜30．因為p為質數，故r≠0，即0＜r＜30．假設r為合數，由於r＜30，所以r的最小質約數只可能為2，3，5．再由p=30q＋r知，當r的最小質約數為2，3，5時，p不是質數，矛盾．所以，r一定不是合數．
7．設由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且為整數，所以m=1，2，3．下面分別研究p，q．
(1)若m=1時，有
解得p=1，q=1，與已知不符，捨去．
(2)若m=2時，有
因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解．
(3)若m=3時，有
解之得故p＋q=8．
8．因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由題設，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，從而3｜(x-y)2．因為3是質數，故3｜(x-y)．進而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，結合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．鏈結an，cn，如圖1－103所示．因為n是bd的中點，所以
上述兩式相加
另一方面，
s△pcd=s△***＋s△cnp＋s△dnp．
因此只需證明
s△and＝s△cnp＋s△dnp．
由於m，n分別為ac，bd的中點，所以
s△cnp=s△cpm-s△cmn
=s△apm-s△amn
=s△anp．
又s△dnp=s△bnp，所以
s△cnp＋s△dnp=s△anp+s△bnp=s△anb=s△and．
自測題二
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x×1＋3×1-2x+2000
=2003．
2．原來每天可獲利4×100元，若每件提價x元，則每件商品獲利(4＋x)元，但每天賣出為(100-10x)件．如果設每天獲利為y元，則
y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490．
所以當x=3時，y最大=490元，即每件提價3元，每天獲利最大，為490元．
3．因為ce平分∠bcd，de平分∠adc及∠1＋∠2=90°(圖1－104)，所以
∠adc＋∠bcd=180°，
所以ad∥bc．
又因為ab⊥bc，
由①，②
ab⊥ad．
4．依題意有
所以 a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即
｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因為｜x｜＋1＞0，且x，y都是整數，所以
所以有6．設王平買三年期和五年期國庫券分別為x元和y元，則
因為y=35000-x，
所以x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2
+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以0.0497x=994，
所以x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元)．
7．因為
(k－1)x＝m-4， ①
m為一切實數時，方程組有唯一解．當k=1，m=4時，①的解為一切實數，所以方程組有無窮多組解．
當k=1，m≠4時，①無解．
所以，k≠1，m為任何實數，或k=1，m=4時，方程組至少有一組解．
8．由題設方程得
z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m．
原方程的通解為
其中n，m取任意整數值．
9．設蘋果、梨子、杏子分別買了x，y，z個，則
消去y，得12x-5z=180．它的解是
x=90-5t，z=180-12t．
代入原方程，得y=-230＋17t．故
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．
x=20，y=8，z=12．
因此，小王的願望不能實現，因為按他的要求，蘋果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20個．
自測題三
1．化簡得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
當a≠1時，
2．將原方程變形為
由此可解得
x=a＋b+c．
3．當x=1時，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1．
即所求展開式中各項係數之和為1．
依題意得
去分母、化簡得
7x2-300x+800=0，
即7x-20)(x-40)=0，
5．若n為整數，有[n＋x]=n＋[x]，所以
[-1.77x]=[-2x＋0.23x]
=-2x+[0.23x]．
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0．
又因為x為自然數，所以0≤0.23x＜1，經試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個．
6．如圖1－105所示．在△pbc中有
bc＜pb＋pc， ①
延長bp交ac於d．易證
pb＋pc＜ab＋ac． ②
由①，②
bc＜pb＋pc＜ab+ac， ③
同理ac＜pa＋pc＜ac＋bc， ④
ab＜pa＋pb＜ac＋ab． ⑤
③＋④＋⑤得
ab＋bc＋ca＜2(pa＋pb＋pc)＜2(ab＋bc＋ca)．
所以8．答案是否定的．對於2，2，2，首先變為2，2，3，其中兩個偶數，乙個奇數．以後無論改變多少次，總是兩個偶數，乙個奇數(數值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變為19，1997，1999這三個奇數．
。又因為所以，k是偶數，從而n是4的倍數．
自測題四
1．由對稱性，不妨設b≤a，則
ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．設乙種商品原單價為x元，則甲種商品的原單價為1.5x元．設甲商品降價y％，則乙商品提價2y％．依題意有
1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
化簡得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．
所以y=0.1=10％，
所以甲種商品降價10％，乙種商品提價20％．
3．因為∠a+∠b＋∠c=180°，所以∠a，∠b，∠c中必有偶數．唯一的偶質數為2，所以
∠c=2°．
所以∠a+∠b=178°．
由於需∠a，∠b為奇質數，這樣的解不唯一，如
4．設每年增產d千台，則這三年的每一年計劃的千台數分別為a-d，a，a＋d．依題意有
解之得所以三年產量分別是4千台、6千台、8千台．
不等式組：
所以x＞2；
無解．6．設原式為s，則
所以又＜0.112-0.001=0.111．
因為所以=0.105
即為所求．
7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得
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