[內容精要] 數列的通項公式可以說是數列問題的核心問題，如果可以由題目條件求得通項公式，可以說數列問題便可迎刃而解，因此求通項公式顯得尤為重要，本節主要介紹由條件求通項公式的一些方法技巧．
題型一由相鄰兩項關係式求通項公式
例1 已知正項數列滿足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，則它的通項公式為( )
a．an＝ b．an＝
c．an＝ d．an＝n
破題切入點對條件因式分解．
答案 b
解析由(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，
得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an](an＋1＋an)＝0，
又an>0，所以(n＋2)an＋1＝(n＋1)an，
即＝，an＋1＝an，
所以an＝··…·a1＝a1(n≥2)，
所以an＝(n＝1適合)，
於是所求通項公式為an＝.
題型二已知多項間的遞推關係求通項公式
例2 已知數列滿足a1＝，anan－1＝an－1－an，則數列的通項公式為________．
破題切入點求證為等差數列，再利用累加法求得，便可求得an.
答案 an＝
解析 ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋＝＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝.
題型三構造法求通項公式
例3 (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝1，an＋1＝，求an.
破題切入點觀察條件，聯想學過的數列來構造．
解 (1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＋1＝2≠0，
於是可知為以2為首項2為公比的等比數列．
即an＋1＝2n，∴an＝2n－1，
∴所求通項公式為an＝2n－1.
(2)由an＋1＝得－＝1(常數)，
又＝1，∴{}為1為首項，1為公差的等差數列，
∴＝n，從而an＝，
即所求通項公式為an＝.
總結提高求數列通項公式常見的方法：
(1)觀察法：利用遞推關係寫出前n項，根據前n項的特點觀察，歸納猜想出an的表示式．
(2)利用前n項和與通項的關係an＝
(3)在已知數列中，滿足an＋1－an＝f(n)且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數列的通項an.
(4)在已知數列中，滿足＝f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累乘法求數列的通項an.
(5)將遞推關係進行變換，轉化為常見數列(等差、等比數列)．
1．在數列中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈n*)，則的值是( )
a. b. c. d.
答案 c
解析由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，
∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，
∴＝×＝.
2．學校餐廳每天**500名學生用餐，每星期一有a，b兩種菜可供選擇．調查資料表明，凡是在星期一選a種菜的，下星期一會有20%改選b種菜；而選b種菜的，下星期一會有30%改選a種菜．用an，bn分別表示在第n個星期的星期一選a種菜和選b種菜的人數，如果a1＝300，則a10為( )
a．350 b．300 c．400 d．450
答案 b
解析依題意，得消去bn，
得an＋1＝an＋150.
由a1＝300，得a2＝300；
由a2＝300，得a3＝300；
……從而得a10＝300，故選b.
3．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n為正整數，則a2 015等於( )
a．2 014 b．2 009 c．1 005 d．1 006
答案 a
解析因為f(x)＝log2＋1，
所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2.
所以f()＋f()＝2，
f()＋f()＝2，…，
f()＋f()＝2，
由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，
所以a2 015＝2 015－1＝2 014，故選a.
4．在正項數列中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數列的通項公式為________．
答案 an＝5n－3×2n－1
解析在遞推公式an＋1＝2an＋3×5n的兩邊同時除以5n＋1，
得＝×＋，①
令＝bn，則①式變為bn＋1＝bn＋，
即bn＋1－1＝(bn－1)，
所以數列是等比數列，
其首項為b1－1＝－1＝－，
公比為.
所以bn－1＝(－)×()n－1，
即bn＝1－×()n－1＝，
故an＝5n－3×2n－1.
5．數列的前n項和sn滿足2snsn－1＝an(n≥2，n∈n*)，且a1＝1，則數列的通項公式為________．
答案 an＝
解析當n≥2時，an＝sn－sn－1，
則2snsn－1＝sn－sn－1，
即－＝－2，
又＝＝1，
故{}是首項為1，公差為－2的等差數列，
則＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，
所以sn＝.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝－
＝，驗證a1＝1不滿足，
故所求通項公式an＝
6．設函式f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，數列滿足f(1)＝n2an(n∈n*)，則數列的通項an
答案 解析由f(0)＝，得a1＝，
由f(1)＝n2an(n∈n*)，
得sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
整理得＝，
所以an＝a1×××…×
＝××××…×
＝，顯然a1＝也符合．
即的通項為an =.
7．若f(n)為n2＋1(n∈n*)的各位數字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈n*，則f2 014(4
答案 8
解析因為42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，
則f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，
f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，
f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，
所以fk＋1(n)＝f(fk(n))為週期數列．
可得f2 014(4)＝8.
8．數列，滿足an＝ln n，bn＝，則數列中第________項最大．
答案 3
解析設函式f(x)＝ln x，則f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝e.
分析知函式f(x)在(0，e]上是增函式，在[e，＋∞)上是減函式，
又f(2)＝ln 2＝ln 所以an·bn＝ln n(n∈n*)在n＝3時取得最大值，
即數列中第3項最大．
9．對於正項數列，定義hn＝為的「光陰」值，現知某數列的「光陰」值為hn＝，則數列的通項公式為________．
答案 an＝
解析由hn＝可得
a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，①
a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝②
①－②得nan＝－＝，
所以an＝.
10．(2014·課標全國ⅱ)數列滿足an＋1＝，a8＝2，則a1
答案 解析 ∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴週期t＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
11．(2014·大綱全國)數列滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
(1)設bn＝an＋1－an，證明是等差數列；
(2)求的通項公式．
(1)證明由an＋2＝2an＋1－an＋2，
得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，
即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，
所以是首項為1，公差為2的等差數列．
(2)解由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，
即an＋1－an＝2n－1.
於是(ak＋1－ak)＝(2k－1)，
所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以的通項公式為an＝n2－2n＋2.
12．(2014·湖南)已知數列滿足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈n*.
(1)若是遞增數列，且a1,2a2,3a3成等差數列，求p的值；
(2)若p＝，且是遞增數列，是遞減數列，求數列的通項公式．
解 (1)因為是遞增數列，
所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.
而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.
又a1,2a2,3a3成等差數列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝，p＝0.
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