a組專項基礎訓練
(時間：35分鐘，滿分：62分)
一、填空題(每小題5分，共35分)
1．底面直徑和母線長相等的圓柱稱為等邊圓柱．已知一等邊圓柱的底面半徑為2，則其體積為________．
答案 16π
解析由題意，圓柱的高為4，則v＝π·22·4＝16π.
2．設α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是________．
①若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ；
②若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n；
③若α⊥β，m⊥α，則m∥β；
④若α∥β，mβ，m∥α，則m∥β.
答案 ④
解析對於①，若可以平行，也可以相交，①錯；對於②，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m，n可以平行，可以相交，也可以異面，②錯；對於③，若α⊥β，m⊥α，則m可以在平面β內，③錯；易知④正確．
3．設α、β、γ為平面，l、m、n為直線，則m⊥β的乙個充分條件為________．
①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；
②n⊥α，n⊥β，m⊥α；
③α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ；
④α⊥γ，β⊥γ，m⊥α.
答案 ②
解析如圖(1)知①錯；如圖(2)知③錯；如圖(3)在正方體中，兩側面α與β相交於l，都與底面γ垂直，γ內的直線m⊥α，但m與β不垂直，故④錯；
由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，則m⊥β，故②正確．
4．如圖，在正四稜柱abcd－a1b1c1d1中，e、f分別是ab1、bc1的中點，則下列結論成立的是填序號)
①ef與bb1垂直；②ef與bd垂直；③ef與cd異面；④ef與a1c1異面．
答案 ①②③
解析鏈結b1c，ac，則b1c交bc1於f，
且f為b1c的中點，
又e為ab1的中點，所以ef綊ac，
而b1b⊥平面abcd，所以b1b⊥ac，
所以b1b⊥ef，①正確；
又ac⊥bd，所以ef⊥bd，②正確；
顯然ef與cd異面，③正確；由ef綊ac，ac∥a1c1，
得ef∥a1c1，④不正確
5．(2011·福建)三稜錐p－abc中，pa⊥底面abc，pa＝3，底面abc是邊長為2的正三角形，則三稜錐p－abc的體積等於________．
答案 解析 ∵pa⊥底面abc，
∴pa為三稜錐p－abc的高，且pa＝3.
∵底面abc為正三角形且邊長為2，∴底面面積為×22×sin 60°＝，∴vp－abc＝××3＝.
6．已知四稜錐p—abcd的底面abcd是矩形，pa⊥底面abcd，點e、f分別是稜pc、pd的中點，則
①稜ab與pd所在直線垂直；
②平面pbc與平面abcd垂直；
③△pcd的面積大於△pab的面積；
④直線ae與直線bf是異面直線．
以上結論正確的是寫出所有正確結論的編號)
答案 ①③
解析由條件可得ab⊥平面pad，
∴ab⊥pd，故①正確；
若平面pbc⊥平面abcd，由pb⊥bc，
得pb⊥平面abcd，從而pa∥pb，這是不可能的，故②錯；
s△pcd＝cd·pd，s△pab＝ab·pa，
由ab＝cd，pd>pa知③正確；
由e、f分別是稜pc、pd的中點，
可得ef∥cd，又ab∥cd，
∴ef∥ab，故ae與bf共面，④錯．
7．三稜錐s－abc中，∠sba＝∠sca＝90°，△abc是斜邊ab＝a的等腰直角三角形，則以下結論中：
①異面直線sb與ac所成的角為90°；
②直線sb⊥平面abc；
③平面sbc⊥平面sac；
④點c到平面sab的距離是a.
其中正確結論的序號是________．
答案 ①②③④
解析由題意知ac⊥平面sbc，故ac⊥sb，sb⊥平面abc，平面sbc⊥平面sac，①②③正確；取ab的中點e，鏈結ce，(如圖)可證得ce⊥平面sab，故ce的長度即為c到平面sab的距離a，④正確．
二、解答題(共27分)
8．(13分)如圖所示，直三稜柱abc－a1b1c1中，∠acb＝90°，m，n分別為a1b，b1c1的中點．求證：
(1)bc∥平面mnb1；
(2)平面a1cb⊥平面acc1a.
證明 (1)因為bc∥b1c1，
且b1c1平面mnb1，
bc平面mnb1，
故bc∥平面mnb1.
(2)因為bc⊥ac，且abc－a1b1c1為直三稜柱，
故bc⊥平面acc1a1.因為bc平面a1cb，
故平面a1cb⊥平面acc1a1.
9．(14分)如圖，四稜錐p—abcd中，pa⊥底面abcd，ab⊥ad，點e**段ad上，且ce∥ab.
(1)求證：ce⊥平面pad；
(2)若pa＝ab＝1，ad＝3，cd＝，∠cda＝45°，求四稜錐p—abcd的體積．
(1)證明因為pa⊥平面abcd，ce平面abcd，
所以pa⊥ce.因為ab⊥ad，ce∥ab，所以ce⊥ad.
又pa∩ad＝a，所以ce⊥平面pad.
(2)解由(1)可知ce⊥ad.
在rt△ecd中，de＝cd·cos 45°＝1，
ce＝cd·sin 45°＝1.所以ae＝ad－ed＝2.
又因為ab＝ce＝1，ab∥ce，所以四邊形abce為矩形．
所以s四邊形abcd＝s矩形abce＋s△ecd＝ab·ae＋ce·de
＝1×2＋×1×1＝.
又pa⊥平面abcd，pa＝1，
所以v四稜錐p—abcd＝s四邊形abcd·pa＝××1＝.
b組專項能力提公升
(時間：35分鐘，滿分：58分)
一、填空題(每小題5分，共30分)
1．已知直線l1，l2與平面α，則下列結論中正確的是________．
①若l1α，l2∩α＝a，則l1，l2為異面直線；
②若l1∥l2，l1∥α，則l2∥α；
③若l1⊥l2，l1⊥α，則l2∥α；
④若l1⊥α，l2⊥α，則l1∥l2.
答案 ④
解析對於①，當a∈l1時，結論不成立；對於②、③，當l2α時，結論不成立．
2．已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個命題：
①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.
其中正確的命題有________．
答案 ①③
解析 ①中， l⊥m，故①正確；
②中，l與m相交、平行、異面均有可能，故②錯；
③中， α⊥β，故③正確；
④中，α與β也有可能相交，故④錯誤．
3．如圖所示，是一幾何體的平面展開圖，其中abcd為正方形，e、f分別為pa、pd的中點．在此幾何體中，給出下面四個結論：
①直線be與直線cf異面；
②直線be與直線af異面；
③直線ef∥平面pbc；
④平面bce⊥平面pad.
其中正確的有________．
答案 ②③
解析對於①，因為e、f分別是pa、pd的中點，
所以ef∥ad.又因為ad∥bc，
所以ef∥bc.所以be與cf共面．故①不正確．
對於②，因為be是平面apd的斜線，af是平面apd內與be不相交的直線，所以be與af不共面．故②正確．
對於③，由①，知ef∥bc，所以ef∥平面pbc.故③正確．
對於④，條件不足，無法判斷兩平面垂直．
4．有乙個內接於球的四稜錐p－abcd，若pa⊥底面abcd，∠bcd＝，∠abc≠，bc＝3，cd＝4，pa＝5，則該球的表面積為________．
答案 50π
解析由∠bcd＝90°知bd為底面abcd外接圓的直徑，則2r＝＝5.
又∠dab＝90°pa⊥ab，pa⊥ad，ba⊥ad.
從而把pa，ab，ad看作長方體的三條稜，設外接球半徑為r，則(2r)2＝52＋(2r)2＝52＋52，
∴4r2＝50，∴s球＝4πr2＝50π.
5 . 如圖所示，在正三稜錐s—abc中，已知ab＝1，∠asb＝30°，過點a作截面ade交sb、sc於d、e兩點，則截面周長的最小值為________．
答案 ＋1
解析將稜錐側面沿側稜sa展開的平面圖如圖所示，鏈結aa′，aa′即為所求．
∵∠asb＝30°，∴∠asa′＝90°.
∴△asa′是等腰直角三角形，
∴aa′＝sa.
又在△sab中，由正弦定理得：＝，
∴sa＝2sin 75°＝.從而aa′＝＋1，
即截面周長的最小值為＋1.
6.設α和β為兩個不重合的平面，給出下列命題：
①若α內的兩條相交直線分別平行於β內的兩條直線，則α平行於β；
②若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l和α平行；
③設α和β相交於直線l，若α內有一條直線垂直於l，則α和β垂直；
④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條直線垂直．
其中真命題的序號是________．
答案 ①②
解析由①知α內兩條相交直線分別平行於平面β，則兩條相交
直線確定的平面α平行於平面β，故①為真命題；
由線面平行的判定定理知，②為真命題；
對於③，如圖，α∩β＝l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③為假命題；
對於④，直線l與平面α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條相交直線垂直，故④為
假命題．
綜上所述，真命題的序號為①②.
二、解答題(共28分)
7．(14分)(2012·湖北)某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四稜臺a1b1c1d1－abcd，上部是乙個底面與四稜臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四稜柱abcd－a2b2c2d2.
(1)證明：直線b1d1⊥平面acc2a2；
(2)現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知ab＝10，a1b1
＝20，aa2＝30，aa1＝13(單位：厘公尺)，每平方厘公尺的加工處
理費為0.20元，需加工處理費多少元？
(1)證明因為四稜柱abcd－a2b2c2d2的側面是全等的矩形，所以aa2⊥ab，aa2⊥ad.
又因為ab∩ad＝a，所以aa2⊥平面abcd.
連線bd，因為bd平面abcd，所以aa2⊥bd.
因為底面abcd是正方形，所以ac⊥bd.
根據稜臺的定義可知，bd與b1d1共面．
又已知平面abcd∥平面a1b1c1d1，
且平面bb1d1d∩平面abcd＝bd，
平面bb1d1d∩平面a1b1c1d1＝b1d1，
所以b1d1∥bd.
於是，由aa2⊥bd，ac⊥bd，b1d1∥bd，可得aa2⊥b1d1，ac⊥b1d1.
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