2023年高考數學應考複習精品資料·解題技巧
第九講極限與探索性問題
【考點透視】
1．理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
2．了解數列極限和函式極限的概念．
3．掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函式的極限．
4．了解函式連續的意義，了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質．
【例題解析】
考點1 數列的極限
1.數列極限的定義：一般地，如果當項數n無限增大時，無窮數列的項an無限地趨近於某個常數a（即|an－a|無限地接近於0），那麼就說數列以a為極限.
注意：a不一定是｛an｝中的項.
2.幾個常用的極限：①c=c（c為常數）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.
3.數列極限的四則運算法則：設數列｛an｝、｛bn｝，
當an=a, bn=b時， （an±bn）=a±b;
例1.數列{}滿足:,且對於任意的正整數m,n都有,則
a. b. c. d.2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式的應用.
[解答過程]由和得
故選a.
例2．設常數，展開式中的係數為，則_____.
[考查目的]本題考查利用二項式定理求出關鍵數, 再求極限的能力.
[解答過程] ，由，所以，所以為1.
例3.把展開成關於的多項式，其各項係數和為，則等於
a． b． c． d．2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式的應用.
[解答過程]
故選d例4.設等差數列的公差是2，前項的和為，則 ．
思路啟迪：由等差數列的公差是2，先求出前項的和為和通項．
[解答過程]
故填3小結:
1.運用數列極限的運算法則求一些數列的極限時必須注意以下幾點：
（1）各數列的極限必須存在；
（2）四則運算只限於有限個數列極限的運算.
2.熟練掌握如下幾個常用極限：
（1） c=c（c為常數）;
（2） （）p=0（p＞0）;
（3） =（k∈n *,a、b、c、d∈r且c≠0）;
（4） qn=0（|q|＜1）.
例5.設正數a, b滿足則（ ）
（a）0 （b） （c） （d）1
解:故選b
小結:重視在日常學習過程中運用化歸思想.
考點2 函式的極限
1.函式極限的概念：
（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那麼就說當x趨向於無窮大時，函式f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當x→∞時，f（x）→a.
（2）一般地，當自變數x無限趨近於常數x0（但x不等於x0）時，如果函式f（x）無限趨近於乙個常數a,就說當x趨近於x0時，函式f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當x→x0時，f（x）→a.
（3）一般地，如果當x從點x=x0左側（即x＜x0＝無限趨近於x0時，函式f（x）無限趨近於常數a,就說a是函式f（x）在點x0處的左極限，記作f （x）=a.如果從點x=x0右側（即x＞x0）無限趨近於x0時，函式f （x）無限趨近於常數a,就說a是函式
f （x）在點x0處的右極限，記作f（x）=a.
2.極限的四則運算法則：
如果f （x）=a, g（x）=b,那麼
[f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =（b≠0）.
例6． =( )
a．等於0b．等於lc．等於3d．不存在
[考查目的]本題主要考查利用同解變形求函式極限的能力.
[解答過程] 故選b
例7． ( )
（a）0 （b）1 （c） （d）
[考查目的]本題主要考查利用分解因式同解變形求函式極限的能力.
[解答過程]
故選d例8.若f （x）=在點x=0處連續，則f （0
思路啟迪：利用逆向思維球解.
解答過程：∵f（x）在點x=0處連續，∴f （0）=f （x）,
f （x）= = =.
答案:例9.設函式f （x）=ax2+bx+c是乙個偶函式,且f （x）=0,f （x）=－3,求這一函式最大值..
思路啟迪：由函式f （x）=ax2+bx+c是乙個偶函式,利用f （－x）=f （x）構造方程,求出b的值.
解答過程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函式,
∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c.
∴b=0.∴f （x）=ax2+c.
又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3,
∴a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1.
∴f （x）的最大值為1.
例10.設f（x）是x的三次多項式，已知===1.
求的值（a為非零常數）.
解答過程：由於=1,可知f（2a）=0
同理f（4a）=0
由①②，可知f（x）必含有（x－2a）與（x－4a）的因式，由於f（x）是x的三次多項式，故可設f（x）=a（x－2a）（x－4a）（x－c）.
這裡a、c均為待定的常數.
由=1,即
=a（x－4a）（x－c）=1,
得a（2a－4a）（2a－c）=1,
即4a2a－2aca=－1
同理，由於=1,
得a（4a－2a）（4a－c）=1,
即8a2a－2aca=1
由③④得c=3a,a=,
因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.
∴=（x－2a）（x－4a）
=·a·（－a）=－.
例11 a為常數，若（－ax）=0,則a的值是
思路啟迪：先對括號內的的式子變形.
解答過程：∵（－ax）= ==0,
∴1－a2=0.∴a=±1.但a=－1時，分母→0,
∴a=1.
考點3.函式的連續性及極限的應用
1.函式的連續性.
一般地，函式f（x）在點x=x0處連續必須滿足下面三個條件：
（1）函式f（x）在點x=x0處有定義；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函式y=f（x）在點x=x0處及其附近有定義，而且f（x）=f（x0）,就說函式f（x）在點x0處連續.
2.如果f（x）是閉區間［a,b］上的連續函式，那麼f（x）在閉區間［a,b］上有最大值和最小值.
3.若f（x）、g（x）都在點x0處連續,則f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在點x0處連續.若u（x）在點x0處連續,且f（u）在u0=u（x0）處連續,則復合函式f［u（x）］在點x0處也連續.
例在x=x0處連續是f（x）在x=x0處有定義的_________條件.
a.充分不必要b.必要不充分
c.充要d.既不充分又不必要
思路啟迪：說明問題即可.
解答過程：f（x）在x=x0處有定義不一定連續.
答案：a
例的不連續點為( )
和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） 和x=（k=0,±1,±2,…）
思路啟迪：由條件出發列方程解之.
解答過程：由cos=0,得=kπ+（k∈z）,∴x=.
又x=0也不是連續點,故選d
答案：d
例14. 設f（x）=當a為________時,函式f（x）是連續的.
解答過程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當a=1時, f（x）=f（0）,
即說明函式f（x）在x=0處連續,而在x≠0時,f（x）顯然連續,於是我們可判斷當a=1時, f（x）在（－∞,+∞）內是連續的.
小結：分段函式討論連續性,一定要討論在「分界點」的左、右極限,進而斷定連續性.
例15.已知函式f（x）=函式f（x）在哪點連續( )
a.處處連續
思路啟迪：考慮結果的啟發性.
解答過程：f（x）= f（x）=f（）.
答案：d
例16.拋物線y=b（）2、x軸及直線ab:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,ab與x軸交於點a,把線段oa分成n等份,作以為底的內接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為s等於這些內接矩形面積之和當n→∞時的極限值,求s的值.
思路啟迪：先列出式子.
解答過程：s=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2·
=·ab
=·ab=ab.
例17.如圖，在邊長為l的等邊△abc中，圓o1為△abc的內切圓，圓o2與圓o1外切，且與ab、bc相切,…,圓on+1與圓on外切，且與ab、bc相切，如此無限繼續下去,記圓on的面積為an（n∈n*）.
（1）證明是等比數列；
（2）求（a1+a2+…+an）的值.
解答過程：（1）證明:記rn為圓on的半徑，
則r1=tan30°=l.
=sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）.
於是a1=πr12=,=（）2=,
∴成等比數列.
（2）解：因為an=（）n－1·a1（n∈n*）,
所以（a1+a2+…+an）==.
例18. 一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當它與水平地面每碰撞一次後速度減少到碰前的,不計每次碰撞時間,則小球從開始下落到停止運動所經過的路程和時間分別是多少?
解答過程：設小球第一次落地時速度為v0,則有v0==10（m/s）,那麼第二,第三,…,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,…,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經過的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的路程是l1=2×=10×（.
高考數學解題技巧
高考數學解題技巧 12種方法 方法一 調理大腦思緒，提前進入數學情境 考前要摒棄雜念，排除干擾思緒，使大腦處於 空白 狀態，創設數學情境，進而醞釀數學思維，提前進入 角色 通過清點用具 暗示重要知識和方法 提醒常見解題誤區和自己易出現的錯誤等，進行針對性的自我安慰，從而減輕壓力，輕裝上陣，穩定情緒 ...
總複習高考數學解題技巧 理科
2013年高考解題技巧知識點彙總 一 選擇題和填空題 1 集合題 表示交集 兩個集合都有的元素或者是共同的元素 例如 表示並集 把兩個集合的全部元素合在一起形成的集合 例如 n 表示全集的補集 在全集中找集合n裡沒有的元素 例如 全集 絕對值不等式的解法 的解為 例如 的解為 例如 一元二次不等式的...
2019高考數學解題技巧
專題七 選擇題解題策略專題輔導 考情分析 近幾年來新課標高考數學試題中選擇題穩定在12道題左右，分值60分，佔總分的40 高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數學思想和方法，體現基礎知識求深度的考基礎考能力的導向 使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區分度的基本題型。因此能否在選擇題上獲取高分...