第一節需要抽象概括的創新試題
高考數學歸納抽象創新題的命題特點：加強創新意識的考查，有利於實現選拔功能；深化課改，促進能力立意命題的實踐和發展. 其中新定義資訊型創新題是近年高考出現頻率最高的創新題之一，因其背景新穎，構思巧妙，能有效甄別考生的思維品質，因而倍受高考命題專家垂青.
題型一定義新概念
【例1】設是乙個數集，且至少含有兩個數，若對任意、，都有、，、（除數），則稱是乙個數域.例如有理數集是數域；數集也是數域.有下列命題：
①整數集是數域若有理數集，則數集必為數域；
③數域必為無限集存在無窮多個數域.
其中正確的命題的序號是 （把你認為正確的命題的序號填填上）
點撥：本題定義了新的概念：數域，審題非常關鍵，解題時可採用排除法，代入特殊的數值對選項進行排除篩選.
此題是以高等數學中「群、環、域」的知識考查高中數學中有關知識的問題，體現了高考數學與中學數學的和諧接軌，以高考數學知識為背景的問題，對已有的知識改造、重組創造「新知識」的問題，也成為高考試題的一大亮點.定義乙個新概念，要求學生面對陌生情境，迅速提取有用資訊，要善於挖掘概念的內涵與本質，並合理遷移運用已學的知識加以解決.這類問題較好地考查學生的轉化能力、知識遷移能力以及學生**性學習的潛能.
解析：對於整數集，當，時，,故①錯；對於滿足的集合，不是數域，②錯；若是數域，則存在且，依定義，，，，,均是中元素，故中有無數元素，③正確；類似數集也是數域，④正確，故選③④.
易錯點：審題不清，未能理解數域的定義所應滿足的條件.
變式與引申
1.定義若平面點集中的任乙個點，總存在正實數，使得集合
，稱為乙個開集．給出下列集合：
①；②；
③；④．
其中是開集的是請寫出所有符合條件的序號）
題型二定義新數表
【例2】全體正整數排成乙個三角形數陣：
12 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
根據以上排列規律，數陣中第（）行的從左向右的第3個數是
點撥：由數陣找到（）行的最後乙個數.數表其實是數列的一種分拆，不同的分拆方式就會產生不同的數表，本題中的數陣是對正整數數列的一種重排，只要找出其排列規律便不難求得答案，本題以三角形數表為載體，考查了學生觀察、歸納、猜想的思維能力.
源於楊輝三角的數表蘊含著豐富的性質，數表型試題在各地高考試卷中屢見不鮮.
解析：該數陣的第1行有1個數，第2行有2個數，…，第行有個數，則第（）行的最後乙個數為，則第行的第3個數為.
易錯點：未能找到新的數陣的規律，解題無從入手.
變式與引申
2.將數列中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
……記表中的第一列數構成的數列為，．為數列的前項和，且滿足．
（ⅰ）證明數列成等差數列，並求數列的通項公式；
（ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同乙個正數．當時，求上表中第行所有項的和．
題型三定義新數列
【例3】若數列滿足（為正常數，），則稱為「等方比數列」．甲：數列是等方比數列；乙：數列是等比數列，則（ ）
a．甲是乙的充分條件但不是必要條件 b．甲是乙的必要條件但不是充分條件
c．甲是乙的充要條件d．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
點撥： 本題主要考察等比數列的定義和創新定義的理解、轉換.等比數列，則公比應唯一確定.
數列是高考重點考查的內容，圍繞數列問題創設情境，設計出一些新穎的題目是近幾年高考的一大亮點，如2023年上海卷的「對稱數列」、2023年湖北卷的「等方比數列」、2023年江蘇卷的「絕對差數列」、2007的北京卷的「等和數列」等，各種新數列精彩紛呈，此類試題形式新穎、內容深遠、能力要求廣泛、解法多樣，能夠較好地考查考生的學習能力、邏輯思維能力、應用能力和創新能力等.
解析：由等比數列的定義數列，若乙：是等比數列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數列是等方比數列，即即公比不一定為， 則命題乙不成立，故選b.
易錯點：是由，得到的是兩個等比數列，而命題乙是指乙個等比數列，忽略等比數列的確定性，容易錯選c.
變式與引申
3.對於每項均是正整數的數列，定義變換，將數列變換成數列．
對於每項均是非負整數的數列，定義變換，將數列各項從大到小排列，然後去掉所有為零的項，得到數列；
又定義．
設是每項均為正整數的有窮數列，令．
（ⅰ）如果數列為5，3，2，寫出數列；
（ⅱ）對於每項均是正整數的有窮數列，證明；
本節主要考查：
數學歸納抽象創新題的求解要求認真理解題意，透過「現象」把握問題的本質，並將它抽象成數學如函式、數列問題，運用相應的數學知識求解．新定義問題的求解通常分三大步驟進行:(1)對新定義進行資訊提取，確定化歸方向;(2)對新定義所提取的資訊進行加工，**解決方法;(3)對定義中提取知識進行轉換，有效地輸出.其中對定義資訊的提取和化歸轉化是求解的關鍵，也是乙個難點.
點評：抽象是指捨棄事物非本質的屬性，揭示其本質的屬性；概括是指把僅僅屬於某一類物件的共同屬性區分出來的思維過程.抽象和概括是相互聯絡的，沒有抽象就不可能有概括，而概括必須在抽象的基礎上得出某一觀點或作出某項結論.
抽象概括能力就是從具體的、生動的例項，在抽象概括的過程中，發現研究物件的本質；從給定的大量資訊材料中，概括出一些結論，並能應用於解決問題或作出新的判斷.
平時的數學學習中要切實加強自主**能力和創新意識的培養，從而不斷提高自身的數學素養，增強分析問題和解決問題的綜合能力.如可以多訂閱報刊雜誌，從雜誌中涉獵新題.有了新題還得用好新題，通過新題歸納解題的思維方法，激發學生的思維風暴；關注題型的縱橫發展，注重多元性，拓展發散思維.
另外，還要注意強化數學建模，提高實踐能力，發展個性特長.重點抓好運用高中數學知識解決生活中的實際問題的能力的培養與訓練，注重數學知識和技能應用的靈活性、綜合性、發散性和遷移性.以提高數學閱讀能力為起點，建立數學模型為核心，尋找或自行編制一些貼近生活的實際應用題，特別是概率與統計應用題.
習題9－1
1．(2023年高考江西卷·文)如圖9-1-1，乙個「凸輪」放置於直角座標系x軸上方，其「底端」落在源點o處，一頂點及中心m在y軸的正半軸上，它的外圍由以正三角形的頂點為圓心，以正三角形的邊長為半徑的三段等弧組成
今使「凸輪」沿x軸正向滾動有進，在滾動過程中，「凸輪」每時每刻都有乙個「最高點」，其中心也在不斷移動位置，則在「凸輪」滾動一周的過程中，將其「最高點」和「中心點」所形成的圖形按上、下放置，應大致為
2．設函式的定義域為,若存在常數,使|對一切實數均成立,則稱為「倍約束函式」.現給出下列函式:
①; ②;
③; ④;
⑤是定義在實數集r上的奇函式,
且對一切,均有.其中是「倍約束函式」的有（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
3.如圖9-1-2，座標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：
1，2，3，4，5，6的橫縱座標分別對應數列的
前12項，如下表所示：
按如此規律下去，則_______.
4．圖9-1-3展示了乙個由區間到實數集的對映過程：區間中的實數對應數軸上的點，如圖9-2中的圖①；將線段圍成乙個圓，使兩端點、恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角座標系中，使其圓心在軸上，點的座標為，如圖③.圖③中直線與軸交於點，則的象就是，記作.
圖9-1-3
(ⅰ)方程的解是
(ⅱ)下列說法中正確命題的序號是填出所有正確命題的序號)
①；②是奇函式;
③在定義域上單調遞增; ④的影象關於點對稱．
第二節需要構建模式的創新試題
高考數學應用題的命題方向,是引導學生自覺地置身於現實生活的大環境中,關心身邊的數學問題,了解社會,關心社會,形成健全的人格.
題型一構建指數函式模式的問題
【例1】有乙個受到汙染的湖泊，其湖水的容積為立方公尺，每天流出湖泊的水量都是立方公尺，現假設下雨和蒸發正好平衡，且汙染物質與湖水能很好地混合，用表示某一時刻每立方公尺湖水所含汙染物質的克數，我們稱為在時刻時的湖水汙染質量分數，已知目前汙染源以每天克的汙染物質汙染湖水，湖水汙染質量分數滿足關係式： （），其中是湖水汙染的初始質量分數.
（ⅰ）當湖水汙染質量分數為常數時，求湖水汙染的初始質量分數；
（ⅱ）求證：當時，湖泊的汙染程度將越來越嚴重；
（ⅲ）如果**加大治汙力度，使得湖泊的所有汙染停止，那麼需要經過多少天才能使湖水的汙染水平下降到開始時汙染水平的5%？
點撥：本題結合實際生活中湖泊水質的問題，得到湖水汙染指數的函式關係式，通過分析函式的特徵，得到汙染質量分數的情況.
解析：（ⅰ）∵為常數， 有， ∴
(ⅱ) 我們易證得， 則
故湖水汙染質量分數隨時間變化而增加，汙染越來越嚴重.
(ⅲ)汙染停止即，，設經過天能使湖水汙染下降到初始汙染水平5%，即
∴，∴，
故需要天才能使湖水的汙染水平下降到開始時汙染水平的5%.
易錯點：審題不清，未能理解湖水汙染指數的函式關係式中各個引數之間的關係，對於較為複雜解析式沒能找到影響函式單調性的引數.
變式與引申
1.設d和d1是兩個平面區域,且.在區域d內任取一點m，記「點m落在區域d1內」為事件a，則事件a發生的概率p(a)=.
已知有序實數對(a,b)滿足a∈[0,3],b∈[0,2],則關於x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實根的概率是
題型二構建二次函式模式的問題
【例2】乙個人以6公尺/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車25公尺時，交通燈由紅變綠，汽車以1公尺 / 秒2的加速度勻加速開走，那麼（ ）
a．人可在7公尺內追上汽車b．人可在10公尺內追上汽車
c．人追不上汽車,其間距離最近為5公尺 d．人追不上汽車,其間距離最近為7公尺
點撥：本題是一道加速行程問題, 需要運用物理現象建立數學模型，即汽車行程+25=人的行程，建立二次函式關係式．
解析：若經t秒人剛好追上汽車，則s+25=6 t ，由s=，得
考慮距離差
故當t = 6時,d 有最小值7 , 即人與汽車最少相距7公尺, 故選d．
易錯點：理解物理運動情境時出現了偏差，未能得到正確的二次函式關係式.
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