應用舉例
知識點撥:
1.如下左圖，在視線與水平線所成的角中，視線在水平上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角.
2.如上右圖，坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i表示，即：i＝.
坡面與水平面的夾角叫做坡角.用字母α表示，
即：i＝＝tanα.
方法指導：
使學生會把實際問題轉化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉化為數學問題來解決.
疑難解析：
例1 甲、乙兩樓相距80公尺，從乙樓樓底望甲樓樓頂的仰角為45°，從甲樓樓頂望乙樓樓頂的俯角為30°，試求兩樓的高.
解：設ab為乙樓，cd為甲樓(如圖)
在rt△acd中，∠dac＝45°，
∴cd＝ac＝80
過b作be⊥cd於點e，設ab＝x
則de＝(80-x)公尺
在rt△bed中，∠dbe＝30°，be＝ac＝80公尺
tan∠dbe＝ 即＝
解得：x＝80(1-)
則ab＝80(1-)(公尺)
cd＝80公尺
答：甲樓高為80公尺，乙樓高為80(1-)公尺.
說明：本例構造了兩個直角三角形，通過解直角三角形來求解.
例2 如圖，一水壩橫斷面為等腰梯形abcd，斜坡ab的坡度為1∶，坡面ab的水平寬度為3公尺，上底寬ad為4公尺，求坡角b，壩高ae和壩底寬bc各是多少?
分析：將實際問題轉化為數學問題，如圖所示，實際已知i＝1∶，即知＝，be＝3 ad＝4，求∠b、ae、bc.此題實質轉化為解直角三角形的問題.
解：∵tanb＝i＝＝
又∵∠b是銳角 ∴∠b＝30°
又∵＝i＝
又∵be＝3
∴ae＝3×＝3
bc＝2be+ad＝2×3+4
＝4+6
答：坡角b為30°，壩高ae為3公尺，壩底寬為(6+4)公尺.
注意：(1)解應用題時，解題過程中可以不寫各數量的單位，但最後作答時務必寫清單位名稱.
(2)應用問題儘管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形同題，必要時應新增輔助線，構造出直角三角形.梯形也是通過作底面高線來構造直角三角形.
(3)本題主要應用坡度是坡角的正切函式而求出坡角，運用坡度的概念求出梯形高，運用等腰梯形性質求出底邊.
例3 如圖一輪船自西向東航行，在a處測得某島c，在北偏東60°的方向上，船前進8海浬後到達b，再測c島，在北偏東30°的方向上，問船再前進多少海浬與c島最近?最近距離是多少?
分析：將實際問題轉化為數學問題，並構造出與實際問題有關的直角三角形，如圖所示，船沿ab方向繼續前進至d處與c島最近，此問題實質就是已知∠a＝90°-60°＝30°，∠abc＝90°+30°＝120°，ab＝8海浬，求bd和cd的解直角三角形問題.
解：根據題設可知△abc中，∠cab＝30°∠abc＝120°，ab＝bc＝8
∴最近距離即為c到ab所在直線的垂線段cd的長度.
在rt△cbd中，bc＝8，∠bcd＝60°
於是，bd＝bc·cos60°＝8×＝4(海浬)
cd＝bc·sin60°＝8×＝4 (海浬)
答：船再前進4海浬就與c最近，最近距離是4海浬.
注意：根據題意準確畫出示意圖是解這類題的前提和保障.
典例精評
例1 如圖，在山頂b處有一鐵塔ab，在a處測得地面上一點c的俯角為60°，在塔底b測得c俯角為45°，已知ab＝30公尺，求山高db的值.
分析本題圖形中有兩個直角三角形，它們有公共邊dc，所以用含有bd的代數式表示dc和ad，而dc和ad在rt△adc中，可利用三角函式關係式列出dc的方程，由bd＝dc，得到結論.
解：由已知條件得：
bd＝dc，ad＝30+bd，∠acd＝60°
在rt△adc中，tan60°＝＝＝
∴dc＝15(+1)(公尺)
∴bd＝15(+1)(公尺)
答：山高db為15(+1)公尺
例2 一段河壩的橫斷面為等腰梯形abcd，試根據圖中資料求出坡角α和壩底寬ad(如圖所示).
分析此題應正確理解，應用坡度、坡角的概念及聯絡，即i＝tanα＝，將梯形問題，新增高線把梯形轉化為兩個直角三角形及矩形來解.
解：過c作cf⊥ad於f
∵ab＝cd，bc∥ad
∴cf＝be＝6，ef＝bc＝4
又∵i＝1∶
∴ae＝fd＝·cf＝×6＝6（公尺）
∴ad＝ae+ef+fd＝4+12（公尺）
∵tanα＝＝i＝＝
∴α＝30°
答：坡角α＝30°，壩底寬ad＝(4+12)公尺.
考點**
利用三角函式知識解決實際問題在每年的中考題中都有可能出現，並且多以綜合題形式出現.
例1 如圖，在平地d處測得樹頂a的仰角為30°，向樹前進10公尺，到達c處，再測得樹頂a的仰角為45°，求樹高ab.(結果保留根號)
分析：先將實際問題轉化為數學問題，構造出直角三角形
已知∠abc＝90°，∠acb＝45°，∠adb＝30°，cd＝10公尺，求ab.
由於ab所在的rt△abc和rt△abd都不夠解三角形的條件，所以需設ab＝x，同時解兩個直角三角形，得到關於x的方程再求出x的值.
解：設ab＝x公尺，則在rt△abc和rt△abd中
bc＝abcot45° bd＝ab·cot30°
∴cd＝bd-bc＝x(-1)
又∵cd＝10 ∴x(-1)＝10
∴x＝＝5(+1)＝5+5(公尺)
答：樹高為5+5公尺.
此題為2023年遼寧省的中考試題，這實際上是利用三角板組合的圖形題，類似這種型別題每年中考題選上都有幾道，望多加注意.
例2 如圖，在一座山的山頂b處用高為1公尺的測傾器望地面c、d兩點，測得的俯角分別為60°和45°，若已知dc的長是20公尺，求山高be.(結果可用根式表示)
解在rt△ace中，有ce＝ae·tan30°，
在rt△ade中，有de＝ae·tan45°,
∴dc＝de-ce＝ae(tan45°-tan30°)
∴ae＝＝(30+10)公尺
∴be＝ae-ab＝(29+10)公尺
答：山高為(29+10)公尺.
例3 如圖，上午8時，一條船從a處出發以15海浬/時的速度向正北航行，9時45分到達b處，從a處測得燈塔c在北偏西26°，從b處測得燈塔c在北偏西52°，求b處到燈塔c的距離.
解∵∠cbn＝∠c+∠bac
∴∠c＝52°-26°＝26°
∴∠c＝∠bac，∴ab＝bc
又∵ab＝15×(1+)＝26.25海浬
∴b處到燈塔c的距離cb為26.25海浬.
例4 如圖，從20公尺高的甲樓頂a處望乙樓頂c處的仰角是30°，望乙樓底d處的俯角是45°，求乙樓的高度.(精確到0.1公尺，≈1.414，≈1.732)
解過a點作ae⊥cd，垂足是e，
∵ab∥cd，ae∥bd
∴de＝ab＝20公尺
在rt∠ade中，∠dae＝45°，de＝20公尺，
∴ae＝20公尺
在rt△ace中，∠cae＝30°，ae＝20公尺
∴ce＝ae·tan30°＝公尺
∴cd＝ce+ed＝ +20＝20(+1)
≈31.5公尺
答：乙樓的高約是31.5公尺.
【同步達綱練習】
知識強化：
一、填空題
1.在△abc中，∠a＝45°，∠b＝30°，ab＝2，則bc＝，ac＝.
2.在△abc中，已知ab＝4，ac＝6，∠a＝60°，則bc＝.
3.在△abc中，∠a＝120°，b＝5,c＝8，則s△abc＝.
4.已知△abc中，ab＝2，ac＝8，bc＝6，bd是中線，則bd＝.
5.已知斜坡ab長為60公尺，ab的坡度i＝1∶，則斜坡ab的高度為公尺.
6.如圖，從樓a處望地面c、d兩點的俯角分別為45°和30°，若cd距離為100公尺，則樓ab高為.
7.等腰直角三角形一腰上的中線與底邊夾角的余弦值為.
8.在△abc中，∠a＝120°，ab＝10，ac＝5，則sinb·sinc＝.
二、選擇題
中，∠c＝90°，a＝2,b＝2，那麼下面結論中不正確的是( )
10.在△abc中，∠a＝30°，∠b＝45°，ac＝8，則bc的長為( )
a.4b.4c.4d.4
11.如圖，從山頂a望地面c、d兩點，它們的俯角分別為45°、30°，如果測得cd為100公尺，那麼山高ab等於( )
a.100公尺 b.×100公尺c.50d.50(+1)公尺
12.某個水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內斜坡的坡度i＝1∶，壩外斜坡的坡度i＝1∶1，那麼兩個坡角的和為( )
a.90°b.75°c.60°d.105°
素質優化：
1一船以每小時20千公尺的速度向正東航行，起初船在a處看見一燈塔b在船的北偏東60°，2小時後，船在c處看見這個燈塔在船的北偏東45°，求燈塔b到船的航線ac的距離.
2.如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬8m，壩高25m，斜坡ab的坡度i=1∶2.8，斜坡cd的坡度i′＝1∶2.
4，求斜坡ab的坡角α，壩底寬ad和斜坡ab的長(精確到0.1m).
創新深化：
如圖，敵人在某島周圍20海浬的區域內布設了水雷，某艦由西向東航行，起初在o點處觀察此島的北偏東60°處，航行30海浬到達b時，再觀察此島，在北偏東30°處，如果不改變航向，繼續向東航行，此艦有沒有觸雷的危險.
參***
知識強化：
一、1.2-2， - 2.2 3.30 4. 5.30 6.50(+1) 7. 8.
二、素質優化:
1.(80 +120)千公尺
公尺，ab＝74.3公尺
創新深化:
∵ac＝15＞0 ∴沒有觸雷的危險
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