人教版數學九年級下冊
第二十六章二次函式 1
26．1 二次函式及其影象 1
26．2 用函式觀點看一元二次方程 6
26．3 實際問題與二次函式 6
第二十七章相似 6
27．1 圖形的相似 6
27．2 相似三角形 7
27．3 位似 7
第二十八章銳角三角函式 8
28．1 銳角三角函式 8
28．2 解直角三角形 10
第二十九章投影與檢視 12
29．1 投影 12
29．2 三檢視 12
第二十六章二次函式
26．1 二次函式及其影象
二次函式是指未知數的最高次數為二次的多項式函式。二次函式可以表示為f(x)=ax2+bx+c(a不為0)。其影象是一條主軸平行於y軸的拋物線。
一般的，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式 y=ax2;+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點座標為(-b/2a，-(4ac-b2)/4a) ；
頂點式 y=a(x+m)2+k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點座標為（-m，k）對稱軸為x=-m，頂點的位置特徵和影象的開口方向與函式ｙ＝ax２的影象相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；
交點式 y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a（x1，0）和 b（x2，0）的拋物線] ；
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
牛頓插值公式（已知三點求函式解析式）
y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引導出交點式的係數a=y1/(x1*x2) (y1為截距)
求根公式
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
求根公式
x是自變數，y是x的二次函式
x1,x2=[-b±(√(b2-4ac))]/2a
(即一元二次方程求根公式）（如右圖）
求根的方法還有因式分解法和配方法
在平面直角座標系中作出二次函式y=2x的平方的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函式影象
如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函式將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 ：1、本身影象，旁邊註明函式。
2、畫出對稱軸，並註明x=什麼
3、與x軸交點座標，與y軸交點座標，頂點座標。拋物線的性質
軸對稱 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
頂點 2.拋物線有乙個頂點p，座標為p ( -b/2a ，4ac-b2;)/4a )
當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ= b2-4ac=0時，p在x軸上。
開口 3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時
（即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的
斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定拋物線與y軸交點的因素
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
拋物線與x軸交點個數
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
δ= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
δ= b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數（x= -b±√b2－4ac 的值的相反數，乘上
虛數i，整個式子除以2a）
當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在上是減函式，在
上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是相反不變
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax2+c(a≠0)
特殊值的形式
7.特殊值的形式
①當x=１時 y=a+b+c
②當x=-1時 y=a-b+c
③當x=2時 y=4a+2b+c
④當x=-2時 y=4a-2b+c
二次函式的性質
8.定義域：r
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b2)/4a，
正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：當b=0時為偶函式，當b≠0時為非奇非偶函式 。
週期性：無
解析式：
①y=ax2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）；
⑷δ=b2-4ac,
δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√δ]/2a，0）和（[-b+√δ]/2a，0）；
δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)2+k[頂點式]
此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）
對稱軸x=(x1+x2)/2 當a>0 且x≧(x1+x2)/2時，y隨x的增大而增大，當a>0且x≦（x1+x2）/2時y隨x
的增大而減小
此時，x1、x2即為函式與x軸的兩個交點，將x、y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。交點式是y=a(x-x1)(x-x2) 知道兩個x軸交點和另乙個點座標設交點式。兩交點x值就是相應x1 x2值。
26．2 用函式觀點看一元二次方程
1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫座標是，那麼當時，函式的值是0，因此就是方程的乙個根。
2. 二次函式的圖象與x軸的位置關係有三種：沒有公共點，有乙個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。
26．3 實際問題與二次函式
在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函式的最大值或最小值。
第二十七章相似
27．1 圖形的相似
概述 如果兩個圖形形狀相同,但大小不一定相等,那麼這兩個圖形相似。（相似的符號：∽）
判定 如果兩個多邊形滿足對應角相等，對應邊的比相等，那麼這兩個多邊形相似。
相似比 相似多邊形的對應邊的比叫相似比。相似比為1時，相似的兩個圖形全等。
性質 相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等。相似多邊形的周長比等於相似比。
相似多邊形的面積比等於相似比的平方。
27．2 相似三角形
判定 1.兩個三角形的兩個角對應相等
2.兩邊對應成比例,且夾角相等
3.三邊對應成比例
4.平行於三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似。
例題 ∵∠a=∠a'; ∠b=∠b'
∴△abc∽△a'b'c'
性質 1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等於相似比。
2.相似三角形周長的比等於相似比。
3.相似三角形面積的比等於相似比的平方
27．3 位似
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點的連線交於一點，對應邊互相平行，那麼這兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。
性質 位似圖形的對應點和位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等於相似比。
位似多邊形的對應邊平行或共線。
位似可以將乙個圖形放大或縮小。
位似圖形的中心可以在任意的一點，不過位似圖形也會隨著位似中心的位變而位變。
根據乙個位似中心可以作兩個關於已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個圖形分布在位似中心的兩側,並且關於位似中心對稱。
注意1、位似是一種具有位置關係的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
2、兩個位似圖形的位似中心只有乙個；
3、兩個位似圖形可能位於位似中心的兩側，也可能位於位似中心的一側；
4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個圖形是否位似；
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7.同角的三角函式間的關係 互餘關係sina cos 90 a cosa sin 90 a 平方關係 商數關係 8.解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和二個銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形 須知一條邊 9.直角三角形變焦關...