21.1 一元二次方程
在乙個等式中，只含有乙個未知數，且未知數的最高次數是2次的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有四個特點：(1)只含有乙個未知數；(2)且未知數次數最高次數是2；(3)是整式方程．要判斷乙個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個方程就為一元二次方程． （4）將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0時，應滿足（a≠0）
21.2 降次——解一元二次方程
解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法：
1、直接開平方法：
用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解為x=± m.
直接開平方法就是平方的逆運算.通常用根號表示其運算結果.
2、配方法
通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。這種解一元二次方程的方法稱為配方法，配方的依據是完全平方公式。
1.轉化： 將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）
2.係數化1： 將二次項係數化為1
3.移項： 將常數項移到等號右側
4.配方： 等號左右兩邊同時加上一次項係數一半的平方
5.變形： 將等號左邊的代數式寫成完全平方形式
6.開方： 左右同時開平方
7.求解： 整理即可得到原方程的根
3、公式法
公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
21.3 實際問題與一元二次方程
列一元二次方程解應用題是列一元一次方程解應用題的繼續和發展
從列方程解應用題的方法來講，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題是非常相似的，由於一元一次方程未知數是一次，因此這類問題大部分都可通過算術方法來解決．如果未知數出現二次，用算術方法就很困難了，正由於未知數是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關面積問題，經過兩次增長的平均增長率問題，數學問題中涉及積的一些問題，經營決策問題等等．
第二十二章二次函式
22.1二次函式及其影象
二次函式（quadratic function）是指未知數的最高次數為二次的多項式函式。二次函式可以表示為y=ax2+bx+c(a不為0)。其影象是一條主軸平行於y軸的拋物線。
一般的，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式 y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點座標為(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；
頂點式 y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點座標為（h，k）對稱軸為x=h，頂點的位置特徵和影象的開口方向與函式ｙ＝ax２的影象相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；
交點式 y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a（x1，0）和 b（x2，0）的拋物線] ；
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。
在平面直角座標系中作出二次函式y=x2的平方的影象，
可以看出，二次函式的影象是一條永無止境的拋物線。
不同的二次函式影象
如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函式將是由一般式平移得到的。
軸對稱1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。 特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
頂點 2.拋物線有乙個頂點p，座標為p ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )
當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ= b2-4ac=0時，p在x軸上。
開口 3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時
（即ab＜ 0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函式解析式（一次函式）的
斜率k的值。可通過對二次函式求導得到。
決定拋物線與y軸交點的因素
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
拋物線與x軸交點個數
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 δ= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
δ= b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
當a>0時，函式在x= -b/2a處取得最小值,當a<0時，函式在x= -b/2a處取得最大值
當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，
7.特殊值的形式
①當x=１時 y=a+b+c ②當x=-1時 y=a-b+c ③當x=2時 y=4a+2b+c
④當x=-2時 y=4a-2b+c
用函式觀點看一元二次方程
1. 如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫座標是，那麼當時，函式的值是0，因此就是方程的乙個根。
2. 二次函式的圖象與x軸的位置關係有三種：沒有公共點，有乙個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。
實際問題與二次函式
在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函式的最大值或最小值。
第二十三章旋轉
23.1 圖形的旋轉
1. 圖形的旋轉
（1）定義：在平面內，將乙個圓形繞乙個定點沿某個方向（順時針或逆時針）轉動乙個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉，這個定點叫做旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角。
（2）生活中的旋轉現象大致有兩大類：一類是物體的旋轉運動，如時鐘的時針、分針、秒針的轉動，風車的轉動等；另一類則是由某一基本圖形通過旋轉而形成的圖案，如香港特別行政區區旗上的紫荊花圖案。
（3）圖形的旋轉不改變圖形的大小和形狀，旋轉是由旋轉中心和旋轉角所決定，旋轉中心可以在圖形上也可以在圖形外。
（4）會找對應點，對應線段和對應角。
2. 旋轉的基本特徵：
（1）圖形在旋轉時，圖形中的每乙個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。
（2）圖形在旋轉時，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等；
（3）圖形在旋轉時，圖形的大小和形狀都沒有發生改變。
3. 幾點說明：
（1）在理解旋轉特徵時，首先要對照圖形，找出旋轉中心、旋轉方向、對應點、旋轉角。
（2）旋轉的角度是對應線段的夾角或對應頂點與旋轉中心連線的夾角。
（3）旋轉中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點旋轉過程中位置沒有改變，哪一點就是旋轉中心；若在圖形外，對應點連線的垂直平分線的交點就是旋轉中心。
23.2 中心對稱
中心對稱：把乙個圖形繞著某一點旋轉180°，假如它能夠與另乙個圖形重合，那麼這劉遇圖形關於這個點對稱或中心對稱。
中心對稱的性質：①關於中心對稱的劉遇圖形，對應點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分。②關於中心對稱的劉遇圖形是全等形。
中心對稱圖形：把乙個圖形繞著某乙個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形。
對稱點的座標規律：①關於x軸對稱：橫座標不變，縱座標互為相反數，②關於y軸對稱：橫座標互為相反數，縱座標不變，③關於原點對稱：橫座標、縱座標都互為相反數。
23.3 課題學習圖案設計
靈活運用平移、旋轉、軸對稱等變換進行圖案設計．
圖案設計就是通過圖形變換(平移、旋轉、軸對稱或幾種的組合)把基本圖形組成具有一定意義的新圖形，圖案設計時不僅要看是否正確使用了圖形變換，還要看圖案是否很好的體現了設計意圖．
第二十四章圓
24.1 圓
定義：（1）平面上到定點的距離等於定長的所有點組成的圖形叫做圓。
（2)平面上一條線段，繞它的一端旋轉360°，留下的軌跡叫圓。
圓心：（1）如定義（1）中，該定點為圓心
（2）如定義（2）中，繞的那一端的端點為圓心。
（3）圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。
（4） 垂直於圓內任意一條弦且兩個端點在圓上的線段的二分點為圓心。
注：圓心一般用字母o表示
直徑：通過圓心，並且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
半徑：連線圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。
圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母c表示。
2023年人教版九年級數學全冊期末試題試題 含答案 好
年人教版九年級全冊期末測試題 好 一 選擇題 共14道小題，每小題3分，共42分 1 1.方程k有實數根，則k的取值範圍是 且k 1 b.k 1 c.k 0且k 1 d.k 0或k 1 2 方程的根為 a.b.cd.3.下列平面圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是 4.在 abc中,a 90...
2023年人教版四年級數學下冊全冊教案 精
執筆科目 羅石堅年級四 班級255,260備課時 間數學課題總複習1四則運算及運算定律 第111頁練習二十五第1 3題 年月日教學目標 1.複習掌握四則混和運算的運算順序，能正確地進行計算。2.掌握相關運算定律，能運用運算定律進行簡便計算。重點 掌握計算順序和運算定律，能正確地進行計算 學具修改欄 ...
2019人教版三年級數學上冊全冊教案
三年級上冊數學教案 第一單元時 分 秒 單元內容 教材第2 8頁的內容。單元目標 1 認識時間單位 秒 知道1分 60秒。會進行一些簡單的時間計算。2 時間單位的簡單轉換和求經過時間的方法。單元重 難點 時間單位的簡單轉換和求經過時間的方法。第一課時時 分 秒 教學目標 1 認識時間單位秒，知道1分...