黃岡中學
高考數學典型例題詳解
指數、對數函式
每臨大事,必有靜氣;靜則神明,疑難冰釋;
積極準備,坦然面對;最佳發揮,捨我其誰?
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指數函式、對數函式是高考考查的重點內容之一，本節主要幫**生掌握兩種函式的概念、圖象和性質並會用它們去解決某些簡單的實際問題.
●難點磁場
(★★★★★)設f(x)=log2,f(x)= +f(x).
(1)試判斷函式f(x)的單調性，並用函式單調性定義，給出證明；
(2)若f(x)的反函式為f－1(x),證明：對任意的自然數n(n≥3),都有f－1(n)>;
(3)若f(x)的反函式f－1(x),證明：方程f－1(x)=0有惟一解.
●案例**
［例1］已知過原點o的一條直線與函式y=log8x的圖象交於a、b兩點，分別過點a、b作y軸的平行線與函式y=log2x的圖象交於c、d兩點.
(1)證明：點c、d和原點o在同一條直線上；
(2)當bc平行於x軸時，求點a的座標.
命題意圖：本題主要考查對數函式圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.
知識依託：(1)證明三點共線的方法：koc=kod.
(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得a點座標.
錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題.
技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點a的座標.
(1)證明：設點a、b的橫座標分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則a、b縱座標分別為log8x1,log8x2.
因為a、b在過點o的直線上，所以,點c、d座標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由於
log2x1==3log8x2,所以oc的斜率：k1=,
od的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即o、c、d在同一條直線上.
(2)解：由bc平行於x軸知：log2x1=log8x2 即：
log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由於x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,則點a的座標為(，log8).
［例2］在xoy平面上有一點列p1(a1,b1),p2(a2,b2),…,pn(an,bn)…,對每個自然數n點pn位於函式y=2000()x(0(1)求點pn的縱座標bn的表示式；
(2)若對於每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成乙個三角形，求a的取值範圍；
(3)設cn=lg(bn)(n∈n*),若a取(2)中確定的範圍內的最小整數，問數列前多少項的和最大？試說明理由.
命題意圖：本題把平面點列，指數函式，對數、最值等知識點揉合在一起，構成乙個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力.屬★★★★★級題目.
知識依託：指數函式、對數函式及數列、最值等知識.
錯解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.
技巧與方法：本題屬於知識綜合題，關鍵在於讀題過程中對條件的思考與認識，並會運用相關的知識點去解決問題.
解：(1)由題意知：an=n+,∴bn=2000().
(2)∵函式y=2000()x(0bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成乙個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)(3)∵5(－1)∴bn=2000().
數列是乙個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2,bn=bnbn－1.於是當bn≥1時，bn●錦囊妙計
本難點所涉及的問題以及解決的方法有：
(1)運用兩種函式的圖象和性質去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函式的圖象和性質並能靈活應用.
(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.
(3)應用題目.此類題目要求考生具有較強的建模能力.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)定義在(－∞,+∞)上的任意函式f(x)都可以表示成乙個奇函式g(x)和乙個偶函式h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(－∞,+∞),那麼( )
b. 3.(★★★★★)已知函式f(x)=.則f-－1(x－1
4.(★★★★★)如圖，開始時，桶1中有a l水，t分鐘後剩餘的水符合指數衰減曲線y=
ae－nt,那麼桶2中水就是y2=a－ae－nt,假設過5分鐘時，桶1和桶2的水相等，則再過_________分鐘桶1中的水只有.
三、解答題
5.(★★★★)設函式f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),當點p(x,y)是函式y=f(x)圖象上的點時，點q(x－2a,－y)是函式y=g(x)圖象上的點.
(1)寫出函式y=g(x)的解析式；
(2)若當x∈［a+2,a+3］時，恒有|f(x)－g(x)|≤1,試確定a的取值範圍.
6.(★★★★)已知函式f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判斷［f(x1)+f(x2)］與f()的大小，並加以證明.
7.(★★★★★)已知函式x,y滿足x≥1,y≥>0且a≠1),求loga(xy)的取值範圍.
8.(★★★★)設不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集為m，求當x∈m時函式f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.
參***
難點磁場
解：(1)由》0,且2－x≠0得f(x)的定義域為(－1，1)，設－1＜x1＜x2＜1,則
f(x2)－f(x1)=()+()
,∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2項中對數的真數大於1.
因此f(x2)－f(x1)>0,f(x2)>f(x1),∴f(x)在(－1，1）上是增函式.
(2)證明：由y=f(x)=得：2y=,
∴f－1(x)=,∵f(x)的值域為r，∴f-－1(x)的定義域為r.
當n≥3時，f-1(n)>.
用數學歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.
(3)證明：∵f(0)=,∴f－1()=0,∴x=是f－1(x)=0的乙個根.假設f－1(x)=0還有乙個解x0(x0≠),則f-1(x0)=0,於是f(0)=x0(x0≠).
這是不可能的，故f-1(x)=0有惟一解.
殲滅難點訓練
一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10x+1
又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1
由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－.
答案：c
2.解析：當a>1時，函式y=logax的圖象只能在a和c中選，又a>1時，y=(1－a)x為減函式.
答案：b
二、3.解析：容易求得f- －1(x)=,從而：
f－1(x－1)=
答案：4.解析：由題意，5分鐘後，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=ln2.設再過t分鐘桶1中的水只有,則y1=ae－n(5+t)=,解得t=10.
答案：10
三、5.解：(1)設點q的座標為(x′,y′),則x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.
∵點p(x,y)在函式y=loga(x－3a)的圖象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga,∴g(x)=loga.
(2)由題意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0; = >0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>在［a+2,a+3］上為減函式，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上為減函式，從而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),於是所求問題轉化為求不等式組的解.
由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤,
∴所求a的取值範圍是0＜a≤.
6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,
∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(當且僅當x1=x2時取「=」號)，
當a>1時，有logax1x2≤loga()2,
∴logax1x2≤loga()， (logax1+logax2)≤loga,
即f(x1)+f(x2)］≤f()(當且僅當x1=x2時取「=」號)
當0＜a＜1時，有logax1x2≥loga()2,
∴(logax1+logax2)≥loga,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(當且僅當x1=x2時取「=」號）.
7.解：由已知等式得：
loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角座標系uov內，圓弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=－u+k有公共點，分兩類討論.
(1)當u≥0,v≥0時，即a>1時，結合判別式法與代點法得1+≤k≤2(1+);
(2)當u≤0,v≤0,即0＜a＜1時，同理得到2(1－)≤k≤1－.x綜上，當a>1時，logaxy的最大值為2+2，最小值為1+；當0＜a＜1時，logaxy的最大值為1－，最小值為2－2.
8.解：∵2(x)2+9(x)+9≤0
∴(2x+3)( x+3)≤0.
∴－3≤x≤－.
即()－3≤x≤()
∴()≤x≤()－3,∴2≤x≤8
即m=又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.
∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3
∴當log2x=2,即x=4時ymin=－1;當log2x=3,即x=8時，ymax=0.
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高考數學重點難點複習 9 指數函式 對數函式問題
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