數學（理工類）
一、選擇題：每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、的展開式中的係數是（ ）
abcd、
2、複數（ ）
abcd、
3、函式在處的極限是（ ）
a、不存在b、等於c、等於d、等於
4、如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連線、則（ ）
abcd、
5、函式的圖象可能是（ ）
6、下列命題正確的是（ ）
a、若兩條直線和同乙個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
b、若乙個平面內有三個點到另乙個平面的距離相等，則這兩個平面平行
c、若一條直線平行於兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
d、若兩個平面都垂直於第三個平面，則這兩個平面平行
7、設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）
abcd、且
8、已知拋物線關於軸對稱，它的頂點在座標原點，並且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ）
abcd、
9、某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。
公司在生產這兩種產品的計畫中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產計畫，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）
a、1800元b、2400元c、2800元d、3100元
10、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內，過點作平面的垂線交半球面於點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（ ）
a、 bc、 d、
11、方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）
a、60條b、62條c、71條d、80條
12、設函式，是公差為的等差數列，，則（ ）
abcd、
二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題紙的相應位置上。）
13、設全集，集合，，則
14、如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是
15、橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交於點、，當的周長最大時，的面積是
16、記為不超過實數的最大整數，例如，，，。設為正整數，數列滿足，，現有下列命題：
①當時，數列的前3項依次為5,3,2；
②對數列都存在正整數，當時總有；
③當時，；
④對某個正整數，若，則。
其中的真命題有寫出所有真命題的編號）
三、解答題（本大題共6個小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。）
17、(本小題滿分12分)
某居民小區有兩個相互獨立的安全防範系統（簡稱系統）和，系統和在任意時刻發生故障的概率分別為和。
（ⅰ）若在任意時刻至少有乙個系統不發生故障的概率為，求的值；
（ⅱ）設系統在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數為隨機變數，求的概率分布列及數學期望。
18、(本小題滿分12分)
函式在乙個週期內的圖象如圖所示，為圖象的最高點，、為圖象與軸的交點，且為正三角形。
（ⅰ）求的值及函式的值域；
（ⅱ）若，且，求的值。
19、(本小題滿分12分)
如圖，在三稜錐中，，，，平面平面。
（ⅰ）求直線與平面所成角的大小；
（ⅱ）求二面角的大小。
20、(本小題滿分12分) 已知數列的前項和為，且對一切正整數都成立。
（ⅰ）求，的值；
（ⅱ）設，數列的前項和為，當為何值時，最大？並求出的最大值。
21、(本小題滿分12分)
如圖，動點到兩定點、構成，且，設動點的軌跡為。
（ⅰ）求軌跡的方程；
（ⅱ）設直線與軸交於點，與軌跡相交於點，且，求的取值範圍。
22、(本小題滿分14分)
已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交於點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。
（ⅰ）用和表示；
（ⅱ）求對所有都有成立的的最小值；
（ⅲ）當時，比較與的大小，並說明理由。
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