第一講、變化率與導數、導數的計算
考點一：導數的運算
【例1】求下列函式的導數；
（1）[, ] 求下列函式的導數；
（1）（2）
（3）[, ]已知f(x
考點二：導數的幾何意義
命題角度一 、求切線方程
【例2】已知函式
（1）求曲線
（2）求經過點。
[, ]設且
命題角度二求切點座標
【例3】（1）設曲線上點p處的切線垂直，則p的座標是
（2）若點p是曲線的最小距離為
命題角度三求引數的值
【例4】（1）已知函式
（2）已知曲線相切，則
第二講、導數與函式的單調性
考點一：利用導數判斷（證明）函式的單調性
【例1】已知函式討論函式的單調性；
[, ] 已知函式
（1）確定
（2）若
考點二、利用導數求函式的單調區間
【例2】已知函式處的切線垂直於直線
（1）求
（2）求函式
考點三、利用導數解決函式單調性的應用問題
命題角度
一、已知函式的單調性求引數的取值範圍
【例3】已知函式
（1）若
（2）若
（2）若
[, ] 已知函式則該函式的影象是（）
命題角度
二、比較大小或解不等式
【例4】（1）若
a.c .
（2）已知函式則不等式
[, ] 已知的導函式，且總有，則不等式
a.第三講、導數與函式的極值與最值
考點一：運用導數研究函式的極值
【例1】設
（1）當
（2）求函式
[, ] 若函式
a.c.
[, ] 已知的極小值點，那麼函式的極大值為（）
考點二：運用導數研究函式的最值
【例2】已知函式
（1）求
（2）求
[, ] 函式
[, ] 已知
（1）討論
（2）當
考點三：函式的極值與最值的綜合問題
【例3】已知函式當
（1）求
（2）求
[, ] 已知函式
（1）求
（2）若
函式與導數核心解答題
核心考點一含參函式的單調性（區間）、極值與最值
解法突破：
第一步：（定義域）求函式的定義域；
第二步：（導函式）求導函式；
第三步：（導函式零點）以導函式的零點存在性進行討論；
第四步：（零點大小）當導函式存在多個零點時，討論它們的大小關係及與區間端點的位置關係；
第五步：（研究主「導」函式）畫出主「導」函式的草圖，判斷符號。
第六步：（寫出單調區間）根據第五步的草圖，確定單調區間；
第七步：（綜上所述）綜合上述討論的情形，完整地寫出函式的單調區間。
方向一、導數的靈魂——含參函式的單調性
【例6.1】設函式求函式的單調區間。
變式1.設函式，討論函式的單調性。
【例6.2】設函式的單調區間。
變式1.已知函式，求函式
【例6.3】設函式判斷函式在區間上的單調性，並求最大值和最小值。
變式1.已知函式在點處的切線方程為。
（1） 求a,b的值；
（2） 求f(x)的單調區間。
方向二、求含參函式的極值與最值
型別一含參函式的極值問題
解法突破：含參函式的極值問題，核心還是含參函式的單調性。
【例6.4】已知，求函式
變式1.已知函式的導函式的兩個零點為
（1） 求
（2） 若的極大值。
變式2.已知函式。
（1） 當時，求曲線在點處的切線方程；
（2） 設函式,討論的單調性並判斷有無極值，有極值時求出極值。
型別二函式確定、區間含參的最值問題
解法突破：求最值的原理是不變的，這裡要注意的是需按區間與函式定義域的關係分類討論。
【例6.5】已知函式的定義域為。
（1）求函式
（2）求函式
變式1.已知函式=若函式上的最大值為28，求k的取值範圍。
型別三函式含參、區間確定的最值問題
解法突破：超越函式（指數函式、對數函式、三角函式）的最值一般都是利用導函式求單調性或極值得到的，函式在區間上的最大（小）值，若不是區間端點值就是極大（小）值。
【例6.6】已知函式
（1） 若上是增函式；
（2） 求上的最小值。
變式1.已知函式
（1） 若曲線在它們的交點處具有公共切線，求a,b的值；
（2） 當求函式並求該函式在區間上的最大值。
型別四函式含參、區間含參的最值問題
【例6.7】已知函式
（1） 若求曲線在點處的切線方程；
（2） 若求
型別五已知最值、求引數的值域或範圍問題
【例6.8】已知函式
（1） 當
（2） 若
變式1.已知函式
（1） 討論的單調性；
（2） 當有最大值，且最大值大於
核心考點二函式的零點問題
思路提公升：研究函式的零點問題常常與研究相應方程的實根問題相互轉化。
1、 已知含參函式存在零點（即至少有乙個零點），求引數範圍問題，一般可化為代數問題求解，即對進行參變分離，得到的形式，則所求a的範圍就是的值域。
2、 當研究函式的零點個數問題，即方程的實根個數問題時，也常要進行參變分離，得到的形式，然後借助數形幾何（幾何法）思想求解。
方向一、方程解（函式零點）的個數問題
型別一函式零點的個數問題的處理理論
【例6.9】設函式且
（1） 求
（2） 求函式
（3） 若函式有3個不同的零點，求實數b的取值範圍。
變式1.已知.
(1) 求實數b的值。
(2) 求函式
(3) 當是否同時存在實數與曲線
都有公共點，若存在，求出最小的實數m和最大的實數m；若不存在，請說明理由。
變式2.已知函式，是否存在實數m,使得的影象與有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值範圍；若不存在，請說明理由。
型別二驗證零點存在性的賦值理論
【例6.10】設函式
（1） 當點處的切線方程；
（2） 求
（3） 若函式
變式1.討論的導函式的零點個數。
變式2.已知函式。
（1） 討論了
(2) 若有兩個零點，求實數a的取值範圍。
型別三可轉化成研究函式零點個數的問題
1、含參函式在區間上不單調，求引數範圍
【例6.11】設函式，其中若函式（0,3）上不單調，求k的取值範圍。
變式1.已知函式
（1） 設
（2） 在（1）的條件下，若函式 (其中)在區間(1,3)上不是單調函式，求實數m的取值範圍。
3、 函式的極值點個數
【例6.12】設常數
（1） 當
（2） 求證：
變式1.已知函式在區間（e是自然對數的底數）上有且只有乙個極值點，求實數的取值範圍。
方向二、函式中的隱零點問題
【例6.13】已知函式的影象在點a（1，f(1)）處的切線與直線平行，求證：函式
變式1.當恆成立，求整數k的最大值。
方向三、函式零點問題中有關雙零點關係的研究
型別一兩零點是二次函式零點
【例6.14】已知函式，且不等式恆成立，求實數m的取值範圍。
變式1.已知函式若函式，且所有極值之和小於求實數的取值範圍。
變式2.已知函式處的切線
(1) 求實數
(2) 設是函式的兩個極值點，若
型別二兩零點關係不明確
【例6.15】已知函式，求證：.
變式1 已知函式.求證：
變式2 已知函式的兩個零點為，試判斷的正負，並說明理由。
變式3 已知函式有兩個零點
核心考點三不等式恆成立與存在性問題
方向一、函式中的恆成立問題
解法突破：我們所研究的函式中的恆成立問題即在不等式恆成立的條件下，求引數的取值範圍問題。核心思想是轉化，即將恆成立問題轉化為最值問題求解。
轉化途徑有：1.分離自變數與參變數；2.
不分離自變數與參變數。對於是否分離自變數與參變數的標準在於區間端點值代入驗證，看不等式是否取等號。若區間端點值代入，不等式取等號，則不分離自變數與參變數；若區間端點值代入，不等式不能取等號，則可以分離自變數與參變數。
分離自變數與參變數的作用在於有效地避免對引數的討論。若不分離自變數與參變數，接下來可有以下三種方法來求解。
解法一：整體分析法，即建構函式分析單調性，求最值。
解法二：從充分條件入手，找到目標成立的乙個充分條件，得到引數範圍a，再驗證對於不等式不恆成立，從而得到引數範圍。如對含引數恆成立，求a的取值範圍，可以大膽假設目標成立的充分條件是單調遞增，即，得出引數a的範圍，再證明其範圍的補集不能使恆成立，即找到乙個反例即可，這樣綜合求得引數範圍。
解法三：從必要條件入手，即找到目標成立的必要條件，其目的是縮小引數範圍，有效地避免複雜的討論，得出範圍a，再證明充分性（即在此範圍內，目標成立），綜合求得引數範圍。如對於含引數a的函式恆成立，求a的範圍，則可先得出a所要滿足的必要條件，即,得出引數a的取值範圍，再證明在此範圍內，不等式恆成立。
型別一恆成立問題處理理論
【例6.16】（1）若對任意恆成立，求a的範圍；
（2）若對任意恆成立，求a的範圍；
變式1.若恒成立，求a的取值範圍。
變式2.若恒成立，求a的範圍。
變式3.設函式
（1） 討論的單調性；
（2） 當，求a的取值範圍。
型別二可轉化為不等式恆成立型別的問題
【例6.17】已知函式在其定義域上為增函式，求a的取值範圍。
變式1.已知函式
（1） 當
（2） 若上是單調函式，求a的取值範圍。
變式2.已知函式。
（1） 討論
（2） 若對任意恆成立，求實數a的取值範圍。
方向二、函式中的存在性問題
解法突破：我們所研究的函式中的存在性問題即在不等式有解的條件下，求引數的取值範圍問題。
（1） 若函式和最大值則對不等式有解問題有以下結論：
①不等式
②不等式
③不等式
④不等式
（2） 若函式在區間d上不存在最大（小）值，如值域為（m,n）則不等式有解問題有以下結論：
①不等式
②不等式
型別一存在性問題處理理論
【例6.18】已知函式。若存在成立，求a的取值範圍。
變式1.已知函式若在區間使得求實數a的取值範圍。
變式2.已知函式曲線處的切線斜率為0.
（1）求b；
（2）若存在的取值範圍。
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