2023年一輪複習專題·初中數學
第四篇圖形的性質
專題十七與圓有關的位置關係
內容梳理
1. 點與圓的位置關係共有三種：①點在圓內 ，②點在圓上 ，③點在圓外 ；對應的點到圓心的距離d和半徑r之間的數量關係分別為：
①d< r，②d=r，③d>r.
2. 直線與圓的位置關係共有三種：①相交，②相切 ，③相離 .
對應的圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的數量關係分別為：
①d< r，②d= r，③d>r.
3. 圓的切線垂直於過切點的半徑；經過半徑的外端，並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線.
4. 從圓外一點可以向圓引兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
5. 三角形的三個頂點確定乙個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，三角形的外接圓的圓心叫三角形的外心，是三角形三邊垂直平分線的交點.
6. 與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓 ，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心 .
典型例題
1 . 已知⊙的半徑是，線段，則點（）．
【答案】c
【解析】解：點到圓心距離，則點在圓內．故選c．
2 . 以下命題正確的是（）
【答案】d
【解析】
試題分析：根據圓的切線的性質,正方形的判定和三角形的內心和外心意義分別作出判斷:
a.圓的切線垂直於過切點的半徑,命題錯誤;
b.圓的內接平行四邊形是矩形,命題錯誤；
c.直角三角形的外心在斜邊中點,內心在這個三角形內,命題錯誤；
d.任何乙個三角形的內心是三個內角角平分線的交點,故一定在這個三角形內,命題正確.
故選d.
考點：1.圓的切線的性質;2. 正方形的判定;3. 三角形的內心和外心.
3 . 如圖，pa、pb是⊙o的兩條切線， a、b是切點，若∠apb=60°，po=2，則⊙o的半徑等於（）
a. b. 1 c. 2 d.
【答案】c
【解析】試題分析：由pa、pb是⊙o的兩條切線，得到po為角apb的平分線，則由∠apb=60°，求出∠apo=∠apb=30°，且oa垂直於pa，即三角形oap為直角三角形，根據30°所對的直角邊等於斜邊的一半，由po=2即可求出oa=po=1，即為⊙o的半徑為1．
故選c．
考點：切線的性質
4 . 已知ab是⊙o的直徑，點p是ab延長線上的乙個動點，過p作⊙o的切線，切點為c，∠apc的平分線交ac於點d．若∠cpd=20°，則∠cap等於（）
a．30° b．20° c．45° d．25°
【答案】d.
【解析】
試題解析：如圖，連線oc，
∵oc=oa，pd平分∠apc，
∴∠cpd=∠dpa=20°，∠a=∠aco，
∵pc為⊙o的切線，
∴oc⊥pc，
∵∠cpo+∠cop=90°，
∴（∠cpd+∠dpa）+（∠a+∠aco）=90°，
∴∠dpa+∠a=45°，
∴∠cdp=45°，
∴∠cap=25°．
故選d．
考點：切線的性質．
5 . 如圖，⊙m與x軸相切於原點，平行於y軸的直線交圓於p、q兩點，p點在q點的下方，若p點的座標是（2，1），則圓心m的座標是（）
【答案】b
【解析】
試題分析：過m作mn⊥pq，交pq於n，連線pm，由此可得n為pq的中點，又p的座標為（2，1），過p作pa⊥x軸，pb⊥y軸，所以mn=pb=2，pa=1，設圓心m的座標為（0，m），由圓m與x軸相切於原點，則圓的半徑mp=m（m＞0），np=na-pa=om-pa=m-1，在直角三角形mnp中，根據勾股定理得：
m2=（m-1）2+22，即2m=5，解得m=2.5，則圓心m的座標為（0，2.5）．
故選b考點：圓的切線的性質
6 . 如圖，直線ab與⊙o相切於點a，弦cd∥ab，e，f為圓上的兩點，且∠cde=∠adf．若⊙o的直徑為5，cd=4，則弦ef的長為．
【答案】
【解析】
試題分析：首先連線oa，並反向延長交cd於點h，連線oc，由直線ab與⊙o相切於點a，弦cd∥ab，可求得oh的長，然後由勾股定理求得ac=2，又由∠cde=∠adf，可證得ef=ac，繼而求得ef=ac=2．
考點：1、切線的性質，2、勾股定理
7 . 如圖,ab是⊙o的直徑,ab=2，cd與⊙o相切於點d，，點e在切線cd上,則當∠aeb最大時,ae=．
【答案】30°．
【解析】
試題解析：解：連線bd，ap，
∵直線cd與以線段ab為直徑的圓相切於點d，
∴∠adb=90°，
當∠apb的度數最大時，
則p和d重合，
∴∠apb=90°，
∵ab=2，ad=1，
∴sin∠dba=，
∴∠abp=30°，
∴當∠apb的度數最大時，∠abp的度數為30°．
考點：切線的性質．
8 . 如圖，pa、pb是⊙o的兩條切線，a．b為切點，直線op交⊙o於c、d，交ab於e，af為⊙o的直徑，有下列結論：
①∠abp＝∠aop； ②；③ac平分∠pab；④2be2＝pe·bf，其中結論正確的有（）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
【答案】d．
【解析】
試題分析：連線ob，∵pa、pb都是⊙o的切線，∴pa=pb，∠apo=∠bpo；
又po=op，∴△apo≌△bpo，∴∠aop=∠bop，∴；
①∵pb切⊙o於點b，∴∠pba=∠afb，由，得∠afb=∠aop，∴∠pba=∠aop；故①正確；
②∵∠aoc=∠boc=∠fod，∴；故②正確；
③同①，可得∠pab=∠aoc；∵，∴∠aoc=∠boc，∴∠eac=∠boc=∠aoc，∴∠eac=∠pab，∴ac平分∠pab；故③正確；
④在△peb和△abf中，∵∠peb=∠apf=90°，∠pbe=∠afb，∴△peb∽△abf，∴be：pe=bf：ab=bf：2be，即2be2=pebf，故④正確；
綜上所述，正確的結論共有4個；
故選d．
考點：1．切線的性質；2．圓周角定理；3．相似三角形的判定與性質．
9 . 已知線段ab=4cm，以3cm長為半徑作圓，使它經過點能作幾個這樣的？請作出符合要求的圖．
【答案】作圖見解析.
【解析】試題分析：
由所作圓過點a、b，可知，圓心到a、b的距離相等，由此可知，圓心**段ab的垂直平分線上，且到點a的距離等於3cm，這樣先作ab的垂直平分線，再以點a為圓心，3cm為半徑作弧與ab的垂直平分線相交，則交點為所求圓的圓心，這樣就可作出所求圓了.
試題解析：
這樣的圓能畫2個．作ab的垂直平分線l，再以點a為圓心，3cm為半徑作圓交l於o1和o2，然後分別以o1和o2為圓心，以3cm為半徑作圓，如圖：
則⊙o1和⊙o2為所求圓．
10 . 如圖，⊙o是△abc的外接圓，圓心o在ab上，m是oa上一點，過m作ab的垂線交bc的延長線於點e，點f是me上的一點，且ef＝cf．
（1）求證：直線cf是⊙o的切線；
（2）若∠b＝2∠a，ab＝8，且ac＝ce，求bm的長．
【答案】（1）證明見解析；（2）bm＝2+2．
【解析】
【分析】
（1）如圖，連線oc，設em交ac於h．想辦法證明∠fco=90°即可解問題；
（2）利用含30度的直角三角形三邊的性質得出bc=ab=4，ac=bc=4，則ce=4，所以be=bc+ce=4+4，然後在rt△bem中計算出bm=be即可．
【詳解】
（1）證明：如圖，連線oc，設em交ac於h．
∵ab是直徑，
∴∠acb＝∠ace＝90°，
∵fe＝fc，
∴∠e＝∠fce，
∴∠e+∠che＝90°，∠fce+∠fch＝90°，
∴∠fch＝∠fhc，
∵∠a+∠ahm＝90°，∠ahm＝∠fhc＝∠fch，
∴∠fch+∠a＝90°，
∵oc＝oa，
∴∠a＝∠oca，
∴∠fch+∠oca＝90°，
∴∠fco＝90°，
∴fc⊥oc，
∴cf是⊙o的切線．
（2）解：在rt△abc中，∵∠acb＝90°，ab＝8，∠b＝2∠a
∴∠a＝30°，
∴bc＝ab＝4，ac＝bc＝4，
∵ac＝ce，
∴ce＝4，
∴be＝bc+ce＝4+4，
在rt△bem中，∠bme＝90°，∠e＝30°
∴bm＝be＝2+2．
【點睛】
本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連線圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三邊的關係．
及時訓練
11 . 在平面直角座標系中，以點（2，1）為圓心，1為半徑的圓，必與（）
【答案】c.
【解析】
試題解析：∵是以點（2，1）為圓心，1為半徑的圓，
∴圓心到x軸的距離是1，圓心到y軸的距離是2，則1=1，1＜2，
∴該圓必與y軸相離，與x軸相切．
故選c．
考點：1.直線與圓的位置關係；2.座標與圖形性質．
12 . 如圖，、是⊙的切線，切點分別為、，如果，那麼等於（ ）.
【答案】c．
【解析】
試題解析：∵pa是圓的切線．
∴∠oap=90°
同理∠obp=90°
根據四邊形內角和定理可得：∠aob=360°-∠oap-∠obp-∠p=360°-90°-90°-60°=120°
故選c．
考點：切線的性質．
13 . 欣賞著名作家巴金在他的作品《海上日出》中對日出狀況的描寫：「果然，過了一會兒，那裡出現了太陽的小半邊臉，紅是紅得很，卻沒有亮光．」這段文字中，給我們呈現了直線與圓的哪一種位置關係（）
【答案】c
【解析】
試題分析：理解直線和圓的位置關係的概念：直線與圓有兩個公共點，則直線與圓相交；直線與圓有唯一乙個公共點，則直線和圓相切；直線與圓沒有公共點，則直線和圓相離．
根據在哪個地方出現了太陽的小半邊立案，可知直線和圓此時是橡膠的位置關係．
故選：c．
考點：直線與圓的位置關係．
14 . 如圖，在邊長為3的正方形ａｂｃｄ中，⊙o1與⊙o2外切，且⊙o1分別與ｄａ、ｄｃ邊相切，⊙o2分別與ｂａ、ｂｃ邊相切，則圓心距o1 o2為．
【答案】
【解析】
試題分析：如圖所示，過點o1作o1f⊥cd交cd於點f，過點o2作o2e⊥ab於點e．
設⊙o1半徑x，⊙o2半徑y，
∵o1在∠adc的平分線上；o2在∠abc平分線上，而bd為正方形對角線，平分對角，
∴o1o2 在bd上，
∴∠adb=∠dba=45°，
∴do1=x，bo2=y
則 db=do1+o1o2+o2b=x+y+（x+y）=3
解得x+y==6-3．
故選a．
考點：相切兩圓的性質．
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